Что представляет собой квантовая механика. Квантовая механика. иной взгляд

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

А.А. БЕРЗИН, В.Г. МОРОЗОВ

ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Учебное пособие

Москва – 2004

Введение

Квантовая механика появилась сто лет назад и оформилась в стройную физическую теорию примерно к 1930 году. В настоящее время она считается фундаментом наших знаний об окружающем мире. Довольно долго применение квантовой механики к прикладным задачам ограничивалось ядерной энергетикой (по большей части военной). Однако после того, как в 1948 году был изобретен транзистор

Один из основных элементов полупроводниковой электроники, а в конце 1950-х годов был создан лазер - квантовый генератор света, стало ясно, что открытия в квантовой физике имеют огромный практический потенциал и серьезное знакомство с этой наукой необходимо не только для профессиональных физиков, но и для представителей других специальностей - химиков, инженеров и даже биологов.

Поскольку квантовая механика все больше стала приобретать черты не только фундаментальной, но и прикладной науки, возникла проблема обучения ее основам студентов нефизических специальностей. С некоторыми квантовыми идеями студент впервые знакомится в курсе общей физики, но, как правило, это знакомство ограничивается не более чем случайными фактами и их сильно упрощенными объяснениями. С другой стороны, полный курс квантовой механики, читаемый на физических факультетах университетов, явно избыточен для тех, кто хотел бы приложить свои знания не к раскрытию тайн природы, а к решению технических и других практических задач. Трудность “адаптации” курса квантовой механики к потребностям обучения студентов прикладных специальностей была замечена давно и до сих пор полностью не преодолена, несмотря на многочисленные попытки создания “переходных” курсов, ориентированных на практические применения квантовых законов. Связано это со спецификой самой квантовой механики. Вопервых, для понимания квантовой механики от студента требуется основательное знание классической физики: механики Ньютона, классической теории электромагнетизма, специальной теории относительности, оптики и т.д. Во-вторых, в квантовой механике для правильного описания явлений в микромире приходится жертвовать наглядностью. Классическая физика оперирует более или менее наглядными понятиями; их связь с экспериментом относительно проста. Иное положение в квантовой механике. Как отметил Л.Д. Ландау, внесший значительный вклад в создание квантовой механики, “необходимо понять то, что мы уже не можем себе вообразить”. Обычно трудности при изучении квантовой механики принято объяснять ее довольно абстрактным математическим аппаратом, применение которого неизбежно из-за потери наглядности понятий и законов. Действительно, чтобы научиться решать квантовомеханические задачи, надо знать дифференциальные уравнения, достаточно свободно обращаться с комплексными числами, а также уметь делать многое другое. Все это, впрочем, не выходит за рамки математической подготовки студента современного технического вуза. Настоящая трудность квантовой механики связана не только и даже не столько с математикой. Дело в том, что выводы квантовой механики, как и любой физической теории, должны предсказывать и объяснятьреальные эксперименты , поэтому нужно научиться связывать абстрактные математические конструкции с измеряемыми физическими величинами и наблюдаемыми явлениями. Вырабатывается это умение каждым человеком индивидуально, в основном, путем самостоятельного решения задач и осмысления результатов. Еще Ньютон заметил: “при изучении наук примеры часто важнее правил”. В отношении квантовой механики эти слова содержат большую долю истины.

Предлагаемое читателю пособие основано на многолетней практике чтения в МИРЭА курса “Физика 4”, посвященного основам квантовой механики, студентам всех специальностей факультетов электроники и РТС и студентам тех специальностей факультета кибернетики, где физика относится к основным учебным дисциплинам. Содержание пособия и изложение материала обусловлены рядом объективных и субъективных обстоятельств. Прежде всего необходимо было учесть, что курс “Физика 4” рассчитан на один семестр. Поэтому из всех разделов современной квантовой механики отобраны те, которые непосредственно связаны с электроникой и квантовой оптикой - наиболее перспективными областями применения квантовой механики. Однако, в отличие от курсов общей физики и прикладных технических дисциплин, мы стремились изложить эти разделы в рамках единого и достаточно современного подхода с учетом возможностей студентов для его усвоения. Объем пособия превышает содержание лекций и практических занятий, так как в курсе “Физика 4” предусмотрено выполнение студентами курсовых работ или индивидуальных заданий, которые требуют самостоятельного изучения вопросов, не включенных в план лекций. Изложение этих вопросов в учебниках по квантовой механике, ориентированных на студентов физических факультетов университетов, часто превышает уровень подготовки студента технического вуза. Таким образом, настоящее пособие может быть использовано как источник материала для курсовых работ и индивидуальных заданий.

Важной частью пособия являются упражнения. Некоторые из них приводятся непосредственно в тексте, остальные помещены в конце каждого параграфа. Многие упражнения снабжены указаниями для читателя. В связи с отмеченной выше “необычностью” понятий и методов квантовой механики выполнение упражнений следует рассматривать как совершенно необходимый элемент изучения курса.

1. Физические истоки квантовой теории

1.1. Явления, противоречащие классической физике

Начнем с краткого обзора явлений, которые не смогла объяснить классическая физика и которые привели, в конце концов, к возникновению квантовой теории.

Спектр равновесного излучения черного тела. Напомним, что в физике

черным телом (часто говорят - “абсолютно черным телом”) называется тело, которое полностью поглощает падающее на него электромагнитное излучение любой частоты.

Абсолютно черное тело является, конечно, идеализированной моделью, однако ее можно реализовать с высокой точностью с помощью простого устройства

Замкнутой полости с малым отверстием, внутренние стенки которой покрыты веществом, хорошо поглощающим электромагнитное излучение, например, сажей (см. Рис. 1.1.). Если температура стенок T поддерживается постоянной, то в конце концов установится тепловое равновесие между веществом стенок

Рис. 1.1. и электромагнитным излучением в полости. Одной из проблем, которую активно обсуждали физики в конце XIX века, была такая: как распределена энергия равновесного излучения по

Рис. 1.2.

частотам? Количественно это распределение описывается спектральной плотностью энергии излучения u ω . Произведениеu ω dω есть энергия электромагнитных волн в единице объема с частотами в интервале отω доω +dω . Спектральную плотность энергии можно измерить, анализируя спектр излучения из отверстия полости, изображенной на Рис. 1.1. Экспериментальная зависимостьu ω для двух значений температуры приведена на Рис. 1.2. С ростом температуры максимум кривой смещается в сторону высоких частот и при достаточно высокой температуре частотаω m может достигнуть области видимого глазом излучения. Тело начнет светиться, причем с дальнейшим ростом температуры цвет тела будет меняться от красного к фиолетовому.

Пока мы говорили об экспериментальных данных. Интерес к спектру излучения черного тела был вызван тем, что функция u ω может бытьточно вычислена методами классической статистической физики и электромагнитной теории Максвелла. Согласно классической статистической физике, в тепловом равновесии энергия любой системы распределяется равномерно по всем степеням свободы (теорема Больцмана). Каждая независимая степень свободы поля излучения - электромагнитная волна с определенной поляризацией и частотой. По теореме Больцмана средняя энергия такой волны в тепловом равновесии при температуреT равнаk B T , гдеk B = 1, 38· 10− 23 Дж/ K - постоянная Больцмана. Поэтому

где c - скорость света. Итак, классическое выражение для равновесной спектральной плотности излучения имеет вид

	u ω=	k B T ω2
		π2 c3

Эта формула есть знаменитая формула Рэлея-Джинса. В классической физике она являетсяточной и, в то же время, абсурдной. В самом деле, согласно ей, в тепловом равновесии при любой температуре имеются электромагнитные волны сколь угодно высоких частот (т. е. ультрафиолетовое излучение, рентгеновское излучение и даже смертельное для человека гамма-излучение), причем, чем выше частота излучения, тем больше энергии на него приходится. Очевидное противоречие между классической теорией равновесного излучения и экспериментом получило в физической литературе эмоциональное название -ультрафиолетовая

катастрофа . Отметим, что известный английский физик лорд Кельвин, подводя итоги развития физики в XIX веке, назвал задачу о равновесном тепловом излучении одной из главных нерешенных проблем.

Фотоэффект . Другим “слабым местом” классической физики оказался фотоэффект - выбивание электронов из вещества под действием света. Совершенно непонятным было то, что кинетическая энергия электронов не зависит от интенсивности света, которая пропорциональна квадрату амплитуды электрического поля

в световой волне и равна среднему потоку энергии, падающему на вещество. С другой стороны, энергия вылетающих электронов существенно зависит от частоты света и линейно растет с ростом частоты. Это также невозможно объяснить

в рамках классической электродинамики, поскольку поток энергии электромагнитной волны, согласно теории Максвелла, не зависит от ее частоты и полностью определяется амплитудой. Наконец, эксперимент показывал, что для каждого вещества существует так называемая красная граница фотоэффекта, т. е. минималь-

ная частота ω min , при которой начинается выбивание электронов. Еслиω < ω min , то свет с частотойω не выбьет ни одного электрона, независимо от интенсивности.

Эффект Комптона . Еще одно явление, которое не могла объяснить классическая физика, было открыто в 1923 году американским физиком А. Комптоном. Он обнаружил, что при рассеянии электромагнитного излучения (в рентгеновском диапазоне частот) на свободных электронах частота рассеянного излучения оказывается меньше, чем частота падающего излучения. Этот экспериментальный факт противоречит классической электродинамике, согласно которой частоты падающего и рассеянного излучения должны быть в точности равны. Чтобы убедиться в сказанном, не нужна сложная математика. Достаточно вспомнить классический механизм рассеяния электромагнитной волны заряженными частицами. Схема

рассуждений примерно такова. Переменное электрическое поле E (t ) =E 0 sinωt
падающей волны действует на каждый электрон силой F (t ) =−eE (t ), где−e -
				(m e
заряд электрона		Электрон приобретает ускорение a (t ) =F (t )/m e

электрона), которое изменяется со временем с той же частотой ω , что и поле в падающей волне. Согласно классической электродинамике, заряд, движущийся с ускорением, излучает электромагнитные волны. Это и есть рассеянное излучение. Если ускорение изменяется со временем по гармоническому закону с частотойω , то излучаются волны с той же частотой. Появление рассеянных волн с частотами меньшими, чем частота падающего излучения, явно противоречит классической электродинамике.

Устойчивость атомов . В 1912 году произошло очень важное для всего дальнейшего развития естественных наук событие - была выяснена структура атома. Английский физик Э. Резерфорд, проводя эксперименты по рассеянию α -частиц в веществе, установил, что положительный заряд и практически вся масса атома сосредоточены в ядре с размерами порядка 10− 12 - 10− 13 см. Размеры ядра оказались ничтожно малы по сравнению с размерами самого атома (примерно 10− 8 см.). Для объяснения результатов своих экспериментов Резерфорд выдвинул гипотезу, что атом устроен аналогично солнечной системе: легкие электроны движутся по орбитам вокруг массивного ядра подобно тому, как планеты движутся вокруг Солнца. Силой, удерживающей электроны на орбитах, является сила кулоновского притяжения ядра. На первый взгляд такая “планетарная модель” кажется весьма

1 Символомe везде обозначаетсяположительный элементарный зарядe = 1, 602· 10− 19 Кл.

привлекательной: она наглядна, проста и вполне согласуется с экспериментальными результатами Резерфорда. Более того, на основе этой модели легко оценить энергию ионизации атома водорода, содержащего всего один электрон. Оценка дает неплохое согласие с экспериментальным значением энергии ионизации. К сожалению, понимаемая буквально, планетарная модель атома имеет неприятный недостаток. Дело в том, что с точки зрения классической электродинамики такой атом просто не может существовать; он нестабилен . Причина этого довольно проста: электрон движется по орбите с ускорением. Даже если величина скорости электрона не меняется, все равно есть ускорение, направленное к ядру (нормальное или “центростремительное” ускорение). Но, как уже отмечалось выше, заряд, движущийся с ускорением, должен излучать электромагнитные волны. Эти волны уносят энергию, поэтому энергия электрона убывает. Радиус его орбиты уменьшается и в конце концов электрон должен упасть на ядро. Простые вычисления, которые мы не будем приводить, показывают, что характерное “время жизни” электрона на орбите составляет примерно 10− 8 секунд. Таким образом, классическая физика не способна объяснить устойчивость атомов.

Приведенные примеры не исчерпывают всех трудностей, с которыми встретилась классическая физика на рубеже XIX и XX веков. Другие явления, где ее выводы противоречит эксперименту, мы рассмотрим позже, когда будет развит аппарат квантовой механики и мы сможем сразу же дать правильное объяснение. Постепенно накапливаясь, противоречия между теорией и экспериментальными данными привели к осознанию того, что с классической физикой “не все в порядке” и необходимы совершенно новые идеи.

1.2. Гипотеза Планка о квантовании энергии осциллятора

В декабре 2000 года исполнилось сто лет квантовой теории. Эту дату связывают с работой Макса Планка, в которой он предложил решение проблемы равновесного теплового излучения. Для простоты Планк выбрал в качестве модели вещества стенок полости (см. Рис. 1.1.) систему заряженных осцилляторов, т. е. частиц, способных совершать гармонические колебания около положения равновесия. Если ω - собственная частота колебаний осциллятора, то он способен излучать и поглощать электромагнитные волны той же частоты. Пусть стенки полости на Рис. 1.1. содержат осцилляторы со всевозможными собственными частотами. Тогда, после установления теплового равновесия, средняя энергия, приходящаяся на электромагнитную волну с частотойω , должна быть равна средней энергии осциллятораE ω с той же собственной частотой колебаний. Вспоминая рассуждения, приведенные на стр. 5, запишем равновесную спектральная плотность излучения в таком виде:

1 На латыни слово “quantum” буквально означает “порция” или “кусок”.

В свою очередь, квант энергии пропорционален частоте осциллятора:

Некоторые люди предпочитают использовать вместо циклической частоты ω так называемую линейную частотуν =ω/ 2π , которая равна числу колебаний за секунду. Тогда выражение (1.6) для кванта энергии можно записать в виде

ε = h ν.

Величина h = 2π 6, 626176· 10− 34 Дж· с также называется постоянной Планка1 .

Исходя из предположения о квантовании энергии осциллятора, Планк получил для спектральной плотности равновесного излучения следующее выражение2 :

	π2 c3			e ω/kB T	− 1

В области низких частот (ω k B T ) формула Планка практически совпадает с формулой Релея-Джинса (1.3), а на высоких частотах (ω k B T ) спектральная плотность излучения, в соответствии с экспериментом, быстро стремится к нулю.

1.3. Гипотеза Эйнштейна о квантах электромагнитного поля

Хотя гипотеза Планка о квантовании энергии осциллятора “не вписывается” в классическую механику, ее можно было трактовать в том смысле, что, по-видимому, механизм взаимодействия света с веществом таков, что энергия излучения поглощается и испускается только порциями, величина которых дается формулой (1.5). В 1900 году о строении атомов практически ничего не было известно, поэтому сама по себе гипотеза Планка еще не означала полный отказ от классических законов. Более радикальную гипотезу высказал в 1905 году Альберт Эйнштейн. Анализируя закономерности фотоэффекта, он показал, что все они естественным образом объясняются, если принять, что свет определенной частотыω состоит из отдельных частиц (фотонов), обладающих энергией

1 Иногда, чтобы подчеркнуть, какая именно постоянная Планка имеется в виду, называют “перечеркнутой постоянной Планка”.

2 Теперь это выражение называется формулой Планка.

где A вых - работа выхода, т. е. энергия, необходимая для преодоления сил, удерживающих электрон в веществе1 . Зависимость энергии фотоэлектронов от частоты света, описываемая формулой (1.11), прекрасно согласовывалась с экспериментальной зависимостью, причем величина в этой формуле оказалась очень близка к значению (1.7). Отметим, что, приняв гипотезу фотонов, можно было объяснить и закономерности равновесного теплового излучения. Действительно, поглощение и излучение веществом энергии электромагнитного поля происходит квантамиω потому, что поглощаются и испускаются отдельные фотоны, имеющие именно такую энергию.

1.4. Импульс фотона

Введение представления о фотонах в какой-то степени возрождало корпускулярную теорию света. То, что фотон - “настоящая” частица, подтверждает анализ эффекта Комптона. С точки зрения фотонной теории рассеяние рентгеновских лучей можно представить как индивидуальные акты столкновений фотонов с электронами (см. Рис. 1.3.), в которых должны выполняться законы сохранения энергии и импульса.

Закон сохранения энергии в этом процессе имеет вид

соизмеримыми со скоростью света, поэтому
выражение для энергии электрона нужно
брать в релятивистском виде, т. е.
Eэл = me c2 ,	E эл=
			m e 2c 4+ p 2c 2
где p - величина импульса электрона после столкновения с фотоном, аm
электрона. Закон сохранения энергии в эффекте Комптона выглядит так:
ω + me c2 = ω+
		m e 2c 4+ p 2c 2

Между прочим, отсюда сразу видно, что ω < ω ; это наблюдается и в эксперименте. Чтобы записать закон сохранения импульса в эффекте Комптона, необходимо найти выражение для импульса фотона. Это можно сделать на основе следующих простых рассуждений. Фотон всегда движется со скоростью светаc , но, как известно из теории относительности, частица, движущаяся со скоростью света, должна

иметь нулевую массу. Так им образом, из общего выражения для релятивистской

энергии E =m 2 c 4 +p 2 c 2 следует, что энергия и импульс фотона связаны соотношениемE =pc . Вспоминая формулу (1.10), получаем

Теперь закон сохранения импульса в эффекте Комптона можно записать в виде

Решение системы уравнений (1.12) и (1.18), которое мы оставляем читателю (см. упражнение 1.2.), приводит к следующей формуле для изменения длины волны рассеянного излучения ∆λ =λ − λ :

называется комптоновской длиной волны частицы (массы m ), на которой происходит рассеяние излучения. Еслиm =m e = 0, 911· 10− 30 кг - масса электрона, тоλ C = 0, 0243· 10− 10 м. Результаты измерений ∆λ , проведенных Комптоном, а затем многими другими экспериментаторами, полностью согласуются с предсказаниями формулы (1.19), причем значение постоянной Планка, которая входит в выражение (1.20), совпадает со значениями, полученными из экспериментов по равновесному тепловому излучению и фотоэффекту.

После появления фотонной теории света и ее успехов в объяснении ряда явлений возникла странная ситуация. В самом деле, попробуем ответить на вопрос: что же такое свет? С одной стороны, в фотоэффекте и эффекте Комптона он ведет себя как поток частиц - фотонов, но, с другой стороны, явления интерференции и дифракции столь же упорно показывают, что свет - электромагнитныеволны . На основе “макроскопического” опыта мы знаем, что частица - это объект, имеющий конечные размеры и движущийся по определенной траектории, а волна заполняет область пространства, т. е. является непрерывным объектом. Как совместить эти две взаимно исключающие точки зрения на одну и ту же физическую реальность - электромагнитное излучение? Парадокс “волна–частица” (или, как предпочитают говорить философы, корпускулярно-волновой дуализм) для света был объяснен лишь в квантовой механике. Мы вернемся к нему после того, как познакомимся с основами этой науки.

1 Напомним, что модуль волнового вектора называется волновым числом.

Упражнения

1.1. Используя формулу Эйнштейна (1.11), объяснить существование красной границы вещества. ω min для фотоэффекта. Выразить ω min через работу выхода электрона из

1.2. Вывести выражение (1.19) для изменения длины волны излучения в эффекте Комптона.

Указание: Разделив равенство (1.14) наc и используя соотношение между волновым числом и частотой (k =ω/c ), запишем

p2 + m2 e c2 = (k − k) + me c.

После возведения в квадрат обеих частей, получим

где ϑ - угол рассеяния, показанный на Рис. 1.3. Приравняв правые части (1.21) и (1.22), приходим к равенству

me c(k − k) = kk(1 −cos ϑ) .

Остается умножить это равенство на 2π , разделить наm e ckk и перейти от волновых чисел к длинам волн (2π/k =λ ).

2. Квантование энергии атома. Волновые свойства микрочастиц

2.1. Теория атома Бора

Прежде чем перейти непосредственно к изучению квантовой механики в ее современном виде, мы кратко обсудим первую попытку применить идею Планка о квантовании к проблеме строения атома. Речь пойдет о теории атома, предложенной в 1913 году Нильсом Бором. Основная цель, которую ставил перед собой Бор, состояла в том, чтобы объяснить удивительно простую закономерность в спектре излучения атома водорода, которую сформулировал Ритц в 1908 году в виде так называемого комбинационного принципа. Согласно этому принципу, частоты всех линий в спектре водорода можно представить как разности некоторых величинT (n ) (“термов”), последовательность которых выражается через целые числа.

Если Вы вдруг поняли, что подзабыли основы и постулаты квантовой механики или вообще не знаете, что это за механика такая, то самое время освежить в памяти эту информацию. Ведь никто не знает, когда квантовая механика может пригодиться в жизни.

Зря вы усмехаетесь и ехидствуете, думая, что уж с этим предметом вам в жизни вообще никогда не придется сталкиваться. Ведь квантовая механика может быть полезной практически каждому человеку, даже бесконечно далекому от нее. Например, у Вас бессонница. Для квантовой механики это не проблема! Почитайте перед сном учебник – и Вы спите крепчайшим сном странице уже эдак на третьей. Или можете назвать так свою крутую рок группу. Почему бы и нет?

Шутки в сторону, начинаем серьезный квантовый разговор.

С чего начать? Конечно, с того, что такое квант.

Квант

Квант (от латинского quantum – ”сколько”) – это неделимая порция какой-то физической величины. Например, говорят - квант света, квант энергии или квант поля.

Что это значит? Это значит, что меньше быть уже просто не может. Когда говорят о том, что какая-то величина квантуется, понимают, что данная величина принимает ряд определенных, дискретных значений. Так, энергия электрона в атоме квантуется, свет распространяется «порциями», то есть квантами.

Сам термин «квант» имеет множество применений. Квантом света (электромагнитного поля) является фотон. По аналогии квантами называются частицы или квазичастицы, соответствующие иным полям взаимодействия. Здесь можно вспомнить про знаменитый бозон Хиггса, который является квантом поля Хиггса. Но в эти дебри мы пока не лезем.

Квантовая механика для "чайников"

Как механика может быть квантовой?

Как Вы уже заметили, в нашем разговоре мы много раз упоминали о частицах. Возможно, Вы и привыкли к тому, что свет – это волна, которая просто распространяется со скоростью с . Но если посмотреть на все с точки зрения квантового мира, то есть мира частиц, все изменяется до неузнаваемости.

Квантовая механика – это раздел теоретической физики, составляющая квантовой теории, описывающая физические явления на самом элементарном уровне – уровне частиц.

Действие таких явлений по величине сравнимо с постоянной Планка, а классическая механика Ньютона и электродинамика оказались совершенно непригодными для их описания. Например, согласно классической теории электрон, вращаясь с большой скоростью вокруг ядра, должен излучать энергию и в конце концов упасть на ядро. Этого, как известно, не происходит. Именно поэтому и придумали квантовую механику – открытые явления нужно было как-то объяснить, и она оказалась именно той теорией, в рамках которой объяснение было наиболее приемлемым, а все экспериментальные данные "сходились".

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Немного истории

Зарождение квантовой теории произошло в 1900 году, когда Макс Планк выступил на заседании немецкого физического общества. Что тогда сообщил Планк? А то, что излучение атомов дискретно, а наименьшая порция энергии этого излучения равна

Где h - постоянная Планка, ню - частота.

Затем Альберт Эйнштейн, введя понятие “квант света” использовал гипотезу Планка для объяснения фотоэффекта. Нильс Бор постулировал существование у атома стационарных энергетических уровней, а Луи де Бройль развил идею о корпускулярно-волновом дуализме, то есть о том, что частица (корпускула) обладает также и волновыми свойствами. К делу присоединились Шредингер и Гейзенберг, и вот, в 1925 году публикуется первая формулировка квантовой механики. Собственно, квантовая механика – далеко не законченная теория, она активно развивается и в настоящее время. Также следует признать, что квантовая механика с ее допущениями не имеет возможности объяснить все стоящие перед ней вопросы. Вполне возможно, что на смену ей придет более совершенная теория.

При переходе от мира квантового к миру привычных нам вещей законы квантовой механики естественным образом трансформируются в законы механики классической. Можно сказать, что классическая механика – это частный случай квантовой механики, когда действие имеет место быть в нашем с Вами привычном и родном макромире. Здесь тела спокойно движутся в неинерциальных системах отсчета со скоростью, гораздо меньшей скорости света, и вообще - все вокруг спокойно и понятно. Хочешь узнать положение тела в системе координат – нет проблем, хочешь измерить импульс – всегда пожалуйста.

Совершенно иной подход к вопросу имеет квантовая механика. В ней результаты измерений физических величин носят вероятностный характер. Это значит, что при изменении какой-то величины возможно несколько результатов, каждому из которых соответствует определенная вероятность. Приведем пример: монетка крутится на столе. Пока она крутится, она не находится в каком-то определенном состоянии (орел-решка), а имеет лишь вероятность в одном из этих состояний оказаться.

Здесь мы плавно подходим к уравнению Шредингера и принципу неопределенности Гейзенберга .

Согласно легенде Эрвин Шредингер, в 1926 году выступая на одном научном семинаре с докладом на тему корпускулярно-волнового дуализма, был подвергнут критике со стороны некоего старшего ученого. Отказавшись слушать старших, Шредингер после этого случая активно занялся разработкой волнового уравнения для описания частиц в рамках квантовой механики. И справился блестяще! Уравнение Шредингера (основное уравнение квантовой механики) имеет вид:

Данный вид уравнения – одномерное стационарное уравнение Шредингера – самый простой.

Здесь x - расстояние или координата частицы, m - масса частицы, E и U - соответственно ее полная и потенциальная энергии. Решение этого уравнения – волновая функция (пси)

Волновая функция – еще одно фундаментальное понятие в квантовой механике. Так, у любой квантовой системы, находящейся в каком-то состоянии, есть волновая функция, описывающая данное состояние.

Например, при решении одномерного стационарного уравнения Шредингера волновая функция описывает положение частицы в пространстве. Точнее говоря, вероятность нахождения частицы в определенной точке пространства. Иными словами, Шредингер показал, что вероятность может быть описана волновым уравнением! Согласитесь, до этого нужно было додуматься!

Но почему? Почему мы должны иметь дело с этими непонятными вероятностями и волновыми функциями, когда, казалось бы, нет ничего проще, чем просто взять и измерить расстояние до частицы или ее скорость.

Все очень просто! Ведь в макромире это действительно так – мы с определенной точностью измеряем расстояние рулеткой, а погрешность измерения определяется характеристикой прибора. С другой стороны, мы можем практически безошибочно на глаз определить расстояние до предмета, например, до стола. Во всяком случае, мы точно дифференцируем его положение в комнате относительно нас и других предметов. В мире же частиц ситуация принципиально иная – у нас просто физически нет инструментов измерения, чтобы с точностью измерить искомые величины. Ведь инструмент измерения вступает в непосредственный контакт с измеряемым объектом, а в нашем случае и объект, и инструмент – это частицы. Именно это несовершенство, принципиальная невозможность учесть все факторы, действующие на частицу, а также сам факт изменения состояния системы под действием измерения и лежат в основе принципа неопределенности Гейзенберга.

Приведем самую простую его формулировку. Представим, что есть некоторая частица, и мы хотим узнать ее скорость и координату.

В данном контексте принцип неопределенности Гейзенберга гласит: невозможно одновременно точно измерить положение и скорость частицы . Математически это записывается так:

Здесь дельта x - погрешность определения координаты, дельта v - погрешность определения скорости. Подчеркнем – данный принцип говорит о том, что чем точнее мы определим координату, тем менее точно будем знать скорость. А если определим скорость, не будем иметь ни малейшего понятия о том, где находится частица.

На тему принципа неопределенности существует множество шуток и анекдотов. Вот один из них:

Полицейский останавливает квантового физика.
- Сэр, Вы знаете, с какой скоростью двигались?
- Нет, зато я точно знаю, где я нахожусь

И, конечно, напоминаем Вам! Если вдруг по какой-то причине решение уравнения Шредингера для частицы в потенциальной яме не дает Вам уснуть, обращайтесь к – профессионалам, которые были взращены с квантовой механикой на устах!

Формирование квантовой механики как последовательной теории с конкретными физическими основами во многом связано с работой В.Гейзенберга, в которой было сформулировано соотношение (принцип) неопределенностей . Это фундаментальное положение квантовой механики раскрывает физический смысл ее уравнений, а также определяет ее связь с классической механикой.

Принцип неопределенности постулирует:объект микромира не может находиться в состояниях, в которых координаты его центра инерции и импульс одновременно принимают вполне определенные, точные значения .

Количественно этот принцип формулируется следующим образом. Если ∆x – неопределенность значения координатыx , а∆p - неопределенность импульса, то произведение этих неопределенностей по порядку величины не может быть меньше постоянной Планка:

∆x ∆ p ≥ h.

Из принципа неопределенности следует, что, чем точнее определена одна из входящих в неравенство величин, тем с меньшей точностью определено значение другой. Никаким экспериментом невозможно одновременно точно измерить эти динамические переменные, причем это связано не с воздействием измерительных приборов или их несовершенством. Соотношение неопределенностей отражает объективные свойства микромира, проистекая из его корпускулярно-волнового дуализма.

То обстоятельство, что один и тот же объект проявляет себя и как частица, и как волна разрушает традиционные представления, лишает описание процессов привычной наглядности. Понятие частицы подразумевает объект, заключенный в малую область пространства, волна же распространяется в его протяженных областях. Представить себе объект, обладающий одновременно этими качествами невозможно, да и не следует пытаться. Невозможно построить наглядную для человеческого мышления модель, которая была бы адекватна микромиру. Уравнения квантовой механики, впрочем, и не ставят такой цели. Их смысл состоит в математически адекватном описании свойств объектов микромира и происходящих с ними процессов.

Если говорить о связи квантовой механики с механикой классической, то соотношение неопределенностей является квантовым ограничением применимости классической механики к объектам микромира . Строго говоря, соотношение неопределенностей распространяется на любую физическую систему, однако, поскольку волновая природа макрообъектов практически не проявляется, координаты и импульс таких объектов можно одновременно измерить с достаточно высокой точностью. Это означает, что для описания их движения вполне достаточно использовать законы классической механики. Вспомним, что аналогичным образом обстоит дело в релятивистской механике (специальной теории относительности): при скоростях движения, значительно меньших скорости света, релятивистские поправки становятся несущественными и преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Итак, соотношение неопределенностей для координат и импульса отражает корпускулярно-волновой дуализм микромира и не связано с воздействием измерительных приборов . Несколько другой смысл имеет аналогичное соотношение неопределенностей дляэнергии Е ивремени t :

∆E ∆ t ≥ h.

Из него следует, что энергию системы можно измерить лишь с точностью, не превышающей h /∆ t, где ∆ t – длительность измерения.Причина такой неопределенности состоит уже в самом процессе взаимодей ствия системы (микрообъекта) с измерительным прибором . Для стационарной ситуации приведенное неравенство означает, что энергия взаимодействия между измерительным прибором и системой может быть учтена только с точностью доh /∆t . В предельном же случае мгновенного измерения происходящий обмен энергией оказывается полностью неопределенным.

Если под ∆ Е понимается неопределенность значения энергии нестационарного состояния, то тогда∆ t есть характерное время, в течение которого значения физических величин в системе изменяются существенным образом. Отсюда, в частности, следует важный вывод относительно возбужденных состояний атомов и других микросистем: энергия возбужденного уровня не может быть строго определена, что говорит о наличииестественной ширины этого уровня.

Объективные свойства квантовых систем отражает еще одно принципиальное положение квантовой механики – принцип дополнительности Бора , согласно которомуполучение любым экспериментальным путем информации об одних физических величинах, описывающих микрообъект, неизбежно связано с потерей информации о некоторых других величинах, дополнительных к первым .

Взаимно дополнительными являются, в частности, координата частицы и ее импульс (см. выше – принцип неопределенности), кинетическая и потенциальная энергия, напряженность электрического поля и количество фотонов.

Рассмотренные фундаментальные принципы квантовой механики свидетельствуют о том, что, в силу корпускулярно-волнового дуализма изучаемого ею микромира, ей чужд детерминизм классической физики. Полный уход от наглядного моделирования процессов придает особый интерес вопросу о том, какова же физическая природа волн де Бройля. В ответе на этот вопрос принято «отталкиваться» от поведения фотонов. Известно, что при пропускании светового пучка через полупрозрачную пластину S часть света проходит сквозь нее, а часть отражается (рис. 4).

Рис. 4

Что же при этом происходит с отдельными фотонами? Эксперименты со световыми пучками очень малой интенсивности с использованием современной техники (А – детектор фотонов), позволяющей следить за поведением каждого фотона (так называемый режим счета фотонов), показывают, что о расщеплении отдельного фотона не может быть и речи (иначе свет изменял бы свою частоту). Достоверно установлено, что некоторые фотоны проходят сквозь пластину, а некоторые отражаются от нее. Это означает, чтоодинаковые частицы в одинаковых условиях могут вести себя по-разному ,т. е. поведение отдельного фотона при встрече с поверхностью пластины не может быть предсказано однозначно .

Отражение фотона от пластины или прохождение сквозь нее суть случайные события. А количественные закономерности таких событий описываются с помощью теории вероятностей. Фотон может с вероятностью w 1 пройти сквозь пластину и с вероятностьюw 2 отразиться от нее. Вероятность того, что с фотоном произойдет одно из этих двух альтернативных событий, равна сумме вероятностей:w 1 + w 2 = 1.

Аналогичные эксперименты с пучком электронов или других микрочастиц также показывают вероятностный характер поведения отдельных частиц. Таким образом, задачу квантовой механики можно сформулировать как предсказание вероятности процессов в микромире , в отличие от задачи классической механики– предсказывать достоверность событий в макромире .

Известно, однако, что вероятностное описание применяется и в классической статистической физике. Так в чем же принципиальная разница? Для ответа на этот вопрос усложним опыт по отражению света. С помощью зеркала S 2 развернем отраженный пучок, поместив детекторA , регистрирующий фотоны в зоне его пресечения с прошедшим пучком, т. е. обеспечим условия интерференционного эксперимента (рис. 5).

Рис. 5

В результате интерференции интенсивность света в зависимости от расположения зеркала и детектора будет периодически меняться по поперечному сечению области перекрытия пучков в широких пределах (в том числе обращаться в ноль). Как же ведут себя отдельные фотоны в этом опыте? Оказывается, что в этом случае два оптических пути к детектору уже не являются альтернативными (взаимоисключающими) и поэтому нельзя сказать, каким путем прошел фотон от источника к детектору. Приходится допускать, что он мог попасть в детектор одновременно двумя путями, образуя в итоге интерференционную картину. Опыт с другими микрочастицами дает аналогичный результат: последовательно проходящие частицы создают такую же картину, как и поток фотонов.

Вот это уже кардинальное отличие от классических представлений: ведь невозможно представить себе движение частицы одновременно по двум разным путям. Впрочем, такой задачи квантовая механика и не ставит. Она предсказывает результат, состоящий в том, что светлым полосам соответствует высокая вероятность появления фотона.

Волновая оптика легко объясняет результат интерференционного опыта с помощью принципа суперпозиции, в соответствии с которым световые волны складываются с учетом соотношения их фаз. Иными словами, волны вначале складываются по амплитуде с учетом разности фаз, образуется периодическое распределение амплитуды, а затем уже детектор регистрирует соответствующую интенсивность (что соответствует математической операции возведения в квадрат по модулю, т. е. происходит потеря информации о распределении фазы). При этом распределение интенсивности носит периодический характер:

I = I 1 + I 2 + 2 A 1 A 2 cos (φ 1 – φ 2 ),

где А , φ , I = | A | 2 –амплитуда ,фаза иинтенсивность волн соответственно, а индексы 1, 2 указывают на их принадлежность к первой или второй из этих волн. Ясно, что приА 1 = А 2 иcos (φ 1 – φ 2 ) = – 1 значение интенсивностиI = 0 , что соответствует взаимному гашению световых волн (при их суперпозиции и взаимодействии по амплитуде).

Для интерпретации волновых явлений с корпускулярной точки зрения принцип суперпозиции переносится в квантовую механику, т. е. вводится понятие амплитуды вероятности – по аналогии с оптическими волнами:Ψ = А exp ( iφ ). При этом имеется в виду, что вероятность есть квадрат этой величины (по модулю) т. е.W = |Ψ| 2 .Амплитуда вероятности называется в квантовой механикеволновой функцией . Это понятие ввел в 1926 г. немецкий физик М. Борн, дав тем самымвероятностную интерпретацию волн де Бройля. Удовлетворение принципу суперпозиции означает, что еслиΨ 1 и Ψ 2 – амплитуды вероятности прохождения частицы первым и вторым путями, то амплитуда вероятности при прохождении обоих путей должна быть:Ψ = Ψ 1 + Ψ 2 . Тогда формально утверждение о том, что «частица прошла двумя путями», приобретает волновой смысл, а вероятностьW = |Ψ 1 + Ψ 2 | 2 проявляет свойствоинтерференционного распределения .

Таким образом, величиной, описывающей состояние физической системы в квантовой механике, является волновая функция системы в предположении о справедливости принципа суперпозиции . Относительно волновой функции и записано основное уравнение волновой механики – уравнение Шрёдингера. Поэтому одна из основных задач квантовой механики состоит в нахождении волновой функции, отвечающей данному состоянию исследуемой системы.

Существенно, что описание состояния частицы с помощью волновой функции носит вероятностный характер, поскольку квадрат модуля волновой функции определяет вероятность нахождения частицы в данный момент времени в определенном ограниченном объеме . Этим квантовая теория фундаментально отличается от классической физики с ее детерминизмом.

В свое время именно высокой точности предсказания поведения макрообъектов была обязана своим триумфальным шествием классическая механика. Естественно, в среде ученых долгое время бытовало мнение, что прогресс физики и науки вообще будет неотъемлемо связан с возрастанием точности и достоверности такого рода предсказаний. Принцип неопределенности и вероятностный характер описания микросистем в квантовой механике коренным образом изменили эту точку зрения.

Тогда стали появляться другие крайности. Поскольку из принципа неопределенности следует невозможность одновременного определения координаты и импульса , можно сделать вывод о том, что состояние системы в начальный момент времени точно не определено и, следовательно, не могут быть предсказаны последующие состояния, т. е. нарушаетсяпринцип причинности .

Однако подобное утверждение возможно только при классическом взгляде на неклассическую реальность. В квантовой механике состояние частицы полностью определяется волновой функцией. Ее значение, заданное для определенного момента времени, определяет последующие ее значения. Поскольку причинность выступает как одно из проявлений детерминизма, целесообразно в случае квантовой механики говорить о вероятностном детерминизме, опирающемся на статистические законы, т. е. обеспечивающем тем более высокую точность, чем больше зафиксировано однотипных событий. Поэтому современная концепция детерминизма предполагает органическое сочетание, диалектическое единство необходимости ислучайности .

Развитие квантовой механики оказало, таким образом, заметное влияние на прогресс философской мысли. С гносеологической точки зрения особый интерес представляет уже упоминавшийся принцип соответствия , сформулированный Н. Бором в 1923 г., согласно которомувсякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применимости и переходя в нее в определенных предельных случаях .

Нетрудно убедиться, что принцип соответствия прекрасно иллюстрирует взаимоотношение классической механики и электродинамики с теорией относительности и квантовой механикой.

Представления в физике атомного ядра

Появление квантовой механики.

Квантовая механика – физическая теория, изучающая движение на микроуровне.

Еще в конце XIX века большинство ученых склонялись к точке зрения, что физическая картина мира в основном построена и останется в дальнейшем незыблемой. Предстоит уточнять лишь детали. Но впервые десятилетия XX века физические воззрения изменились коренным образом. Это было следствием «каскада» научных открытий, сделанных в течение чрезвычайно короткого исторического периода, охватывающего последние годы XIX столетия и первые десятилетия XX века.

В 1896 году французский физик Антуан Анри Беккерель (1852-1908) открыл явление самопроизвольного излучения урановой соли.

В его исследование включились французские физики, супруги Пьер Кюри (1859-1906) и Мария Склодовская-Кюри (1867-1934). В 1898 году были открыты новые элементы, также обладающие свойством испускать «беккерелевы лучи», - полоний и радий. Это свойство супруги Кюри назвали радиоактивностью.

А годом раньше, в 1897 году, в лаборатории Кавендиша в Кембридже при изучении электрического разряда в газах (катодных лучей) английский физик Джозеф Джон Томсон (1856-1940) открыл первую элементарную частицу - электрон.

В 1911 году знаменитый английский физик Эрнест Резерфорд (1871-1937) предложил свою модель атома, которая получила название планетарной.

Н. Бор, зная о модели Резерфорда и приняв ее в качестве исходной, разработал в 1913 году квантовую теорию строения атома.

Принципы квантовой механики

Принцип неопределенности Гейзенберга: «Невозможно одновременно с точностью определить координаты и скорость квантовой частицы»

В первой четверти ХХ века именно такова была реакция физиков, когда они стали исследовать поведение материи на атомном и субатомном уровнях.

Принцип Гейзенберга играет в квантовой механике ключевую роль хотя бы потому, что достаточно наглядно объясняет, как и почему микромир отличается от знакомого нам материального мира.

Чтобы отыскать, например, книгу, вы, войдя в комнату, окидываете ее взглядом, пока он не остановится на ней. На языке физики это означает, что вы провели визуальное измерение (нашли взглядом книгу) и получили результат - зафиксировали ее пространственные координаты (определили местоположение книги в комнате).

В начале 1920-х годов, когда произошел бурный всплеск творческой мысли, приведший к созданию квантовой механики, эту проблему первым осознал молодой немецкий физик-теоретик Вернер Гейзенберг. Им был сформулирован принцип неопределенности , названный теперь его именем:

Термин «неопределенность пространственной координаты» как раз и означает, что мы не знаем точного местоположения частицы. Например, если вы используете глобальную систему GPS, чтобы определить местоположение книги, система вычислит их с точностью до 2-3 метров. И тут мы подходим к самому принципиальному отличию микромира от нашего повседневного физического мира. В обычном мире, измеряя положение и скорость тела в пространстве, мы на него практически не воздействуем. Таким образом, в идеале мы можем одновременно измерить и скорость, и координаты объекта абсолютно точно (иными словами, с нулевой неопределенностью). Допустим, что нужно зафиксировать пространственное местонахождение электрона. Нам по-прежнему нужен измерительный инструмент, который вступит во взаимодействие с электроном и возвратит детекторам сигнал с информацией о его местопребывании.

Если нам удастся с нулевой погрешностью (абсолютно точно) определить одну из измеряемых величин, неопределенность другой величины будет равняться бесконечности, и о ней мы не будем знать вообще ничего. Иными словами, если бы нам удалось абсолютно точно установить координаты квантовой частицы, о ее скорости мы не имели бы ни малейшего представления; если бы нам удалось точно зафиксировать скорость частицы, мы бы понятия не имели, где она находится.

Принцип неопределенности не мешает нам с любой желаемой точностью измерить каждую из этих величин. Он утверждает лишь, что мы не в состоянии достоверно узнать и то, и другое одновременно.

Ключевым в соотношении Гейзенберга является взаимодействие между частицей-объектом измерения и инструментом измерения, влияющим на его результаты.

Принцип дополнительности Н. Бора: «Объекты микромира описываются и как частицы, и как волны, и одно описание дополняет другое».

В повседневной жизни имеется два способа переноса энергии в пространстве - посредством частиц или волн. Чтобы, скажем, скинуть со стола костяшку домино, балансирующую на его краю, можно придать ей необходимую энергию двумя способами. Во-первых, можно бросить в нее другую костяшку домино (то есть передать точечный импульс с помощью частицы). Во-вторых, можно построить в ряд стоящие костяшки домино, по цепочке ведущие к той, что стоит на краю стола, и уронить первую на вторую: в этом случае импульс передастся по цепочке - вторая костяшка завалит третью, третья четвертую и так далее. Это - волновой принцип передачи энергии. В обыденной жизни между двумя механизмами передачи энергии видимых противоречий не наблюдается. Так, баскетбольный мяч - это частица, а звук - это волна, и всё ясно.

Однако в квантовой механике всё обстоит отнюдь не так просто. Даже из простейших опытов с квантовыми объектами очень скоро становится понятно, что в микромире привычные нам принципы и законы макромира не действуют. Свет, который мы привыкли считать волной, порой ведет себя так, будто состоит из потока частиц (фотонов ), а элементарные частицы, такие как электрон или даже массивный протон, нередко проявляют свойства волны. Если «выстреливать» электроны по одному, каждый из них будет оставлять четкий след на экране - то есть вести себя как частица. Самое интересное, что, то же самое будет, если вместо пучка электронов вы возьмете пучок фотонов: в пучке они будут вести себя как волны, а по отдельности - как частицы

Иными словами, в микромире объекты, которые ведут себя как частицы, при этом как бы «помнят» о своей волновой природе, и наоборот. Это странное свойство объектов микромира получило название квантово-волнового дуализма .

Принцип дополнительности - простая констатация этого факта. Согласно этому принципу, если мы измеряем свойства квантового объекта как частицы, мы видим, что он ведет себя как частица. Если же мы измеряем его волновые свойства, для нас он ведет себя как волна. Оба представления отнюдь не противоречат друг другу - они именно дополняют одно другое, что и отражено в названии принципа.

Строение атома.

Планетарная модель строения атома была предложена в результате открытия ядра атома Резерфордом:
1.В центре атома находится положительно заряженное ядро, занимающее ничтожную часть пространства внутри атома.
2.Весь положительный заряд и почти вся масса атома сосредоточены в его ядре (масса электрона равна 1/1823 а. е. м.).
3.Вокруг ядра по замкнутым орбитам вращаются электроны. Их число равно заряду ядра.
Ядро атома

Ядро атома состоит из протонов и нейтронов (общее название - нуклоны). Оно характеризуется тремя параметрами: А - массовое число, Z - заряд ядра, равный числу протонов, и N - число нейтронов в ядре. Эти параметры связаны между собой соотношением:
А = Z + N.
Число протонов в ядре равно порядковому номеру элемента.
Заряд ядра обычно пишут внизу слева от символа элемента, а массовое число - вверху слева (заряд ядра часто опускают).
Пример 40 18 Ar: ядро этого атома содержит 18 протонов и 22 нейтрона.
Атомы, ядра которых содержат одинаковое число протонов и разное число нейтронов, называются изотопами, например: 12/6С и 13/6С. Изотопы водорда имеют специальные символы и названия: 1 Н - протий, 2 D - дейтерий, 3 Т - тритий. Химические свойства изотопов идентичны, некоторые физические свойства очень незначительно различаются..

Радиоактивность

Радиоактивность - это самопроизвольное, спонтанное превращение неустойчивых атомных ядер в ядра др. элементов, сопровождающееся испусканием частиц. Соответствующие элементы назвали радиоактивными или радионуклеидами.

В 1899 году Э. Резерфорд в результате экспериментов обнаружил, что радиоактивное излучение неоднородно и под действием сильного магнитного поля распадается на две составляющие, a - и b -лучи. Третью составляющую, g -лучи, обнаружил французский физик П. Вилард в 1900 году.

Гамма-лучи вызывают ионизацию атомов вещества. Основные процессы, возникающие при прохождении гамма-излучения через вещество:

Фотоэффект - энергия гамма-луча поглощается электроном оболочки атома, и электрон, совершая работу выхода, покидает атом (который становится ионизированным, т.е. превращается в ион).

Выбивание светом электронов с поверхности токопроводящих материалов - явление, широко используемое сегодня в повседневной жизни. Например, некоторые системы сигнализации работают за счет передачи видимых или инфракрасных световых лучей на фотоэлектрический элемент , из которого выбиваются электроны, обеспечивающие электропроводность цепи, в которую он включен. Если на пути светового луча появляется препятствие, свет на датчик поступать перестает, поток электронов прекращается, цепь разрывается - и срабатывает электронная сигнализация.

Облучение γ-лучами.в зависимости от дозы и продолжительности может вызвать хроническую и острую лучевые болезни. Эффекты облучения включают различные виды онкологических заболеваний. В то же время гамма-облучение подавляет рост раковых и других быстро делящихся клеток. Гамма-излучение является мутагенным и фактором.

Применение гамма- излучения:

Гамма-дефектоскопия, контроль изделий просвечиванием γ-лучами.

Консервирование пищевых продуктов.

Стерилизация медицинских материалов и оборудования.

Лучевая терапия.

Уровнемеры

Гамма-высотометры, измерение расстояния до поверхности при приземлении спускаемых космических аппаратов.

Гамма-стерилизация специй, зерна, рыбы, мяса и других продуктов для увеличения срока хранения.

Виды радиоактивности

Деление атомного ядра бывает спонтанным (самопроизвольным) и вынужденным (в результате взаимодействия с другими частицами, прежде всего, с нейтронами). Деление тяжёлых ядер -экзотермический процесс, в результате которого высвобождается большое количество энергии в виде кинетической энергии продуктов реакции, а также излучения. Деление ядер служит источником энергии в ядерных реакторах и ядерном оружии. Установлено, что радиоактивны все химические элементы СС порядковым номером, большим 82 (то есть начиная с висмута), и некоторые более лёгкие элементы (прометий и технеций не имеют стабильных изотопов, а у некоторых элементов, например индия, калия или кальция, одни природные изотопы стабильны, другие же радиоактивны).

Весной 1913 года Содди сформулировал правило:

Испускание α-частиц уменьшает атомную массу на 4 и смещает его на 2 места влево по ПС.

Испускание β-частиц смещает элемент вправо на 1 место, почти не меняя его массы

Квантовая механика

Δ x ⋅ Δ p x ⩾ ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p_{x}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}

Введение Математические основы

См. также: Портал:Физика

Ква́нтовая меха́ника - раздел теоретической физики , описывающий физические явления, в которых действие сравнимо по величине с постоянной Планка . Предсказания квантовой механики могут существенно отличаться от предсказаний классической механики . Поскольку постоянная Планка является чрезвычайно малой величиной по сравнению с действием объектов при макроскопическом движении, квантовые эффекты в основном проявляются в микроскопических масштабах. Если физическое действие системы намного больше постоянной Планка, квантовая механика органически переходит в классическую механику. В свою очередь, квантовая механика является нерелятивистским приближением (то есть приближением малых энергий по сравнению с энергией покоя массивных частиц системы) квантовой теории поля .

Классическая механика, хорошо описывающая системы макроскопических масштабов, не способна описать все явления на уровне молекул , атомов , электронов и фотонов . Квантовая механика адекватно описывает основные свойства и поведение атомов, ионов , молекул, конденсированных сред и других систем с электронно-ядерным строением. Квантовая механика также способна описывать: поведение электронов, фотонов, а также других элементарных частиц , однако более точное релятивистски инвариантное описание превращений элементарных частиц строится в рамках квантовой теории поля. Эксперименты подтверждают результаты, полученные с помощью квантовой механики.

Основными понятиями квантовой кинематики являются понятия наблюдаемой и состояния .

Основные уравнения квантовой динамики - уравнение Шрёдингера , уравнение фон Неймана , уравнение Линдблада , уравнение Гейзенберга и уравнение Паули .

Уравнения квантовой механики тесно связаны со многими разделами математики, среди которых: теория операторов , теория вероятностей , функциональный анализ , операторные алгебры , теория групп .

История

На заседании Немецкого физического общества Макс Планк зачитал свою историческую статью «К теории распределения энергии излучения в нормальном спектре» , в которой он ввёл универсальную постоянную h {\displaystyle h} . Именно дату этого события, 14 декабря 1900 года, часто считают днем рождения квантовой теории.

Для объяснения структуры атома Нильс Бор предложил в 1913 году существование стационарных состояний электрона, в которых энергия может принимать лишь дискретные значения. Этот подход, развитый Арнольдом Зоммерфельдом и другими физиками, часто называют старой квантовой теорией (1900-1924 г.). Отличительной чертой старой квантовой теории является сочетание классической теории с противоречащими ей дополнительными предположениями.

• Чистые состояния системы описываются ненулевыми векторами комплексного сепарабельного гильбертова пространства H {\displaystyle H} , причем векторы | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } и | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } описывают одно и то же состояние тогда и только тогда , когда | ψ 2 ⟩ = c | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle =c|\psi _{1}\rangle } , где c {\displaystyle c} - произвольное комплексное число.
• Каждой наблюдаемой можно однозначно сопоставить линейный самосопряжённый оператор. При измерении наблюдаемой A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} , при чистом состоянии системы | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } в среднем получается значение, равное

⟨ A ⟩ = ⟨ ψ | A ^ ψ ⟩ ⟨ ψ | ψ ⟩ = ⟨ ψ A ^ | ψ ⟩ ⟨ ψ | ψ ⟩ {\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {\langle \psi |{\hat {A}}\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}={\frac {\langle \psi {\hat {A}}|\psi \rangle }{\langle \psi |\psi \rangle }}}

где через ⟨ ψ | ϕ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle } обозначается скалярное произведение векторов | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } и | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } .

• Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы определяется уравнением Шрёдингера

i ℏ ∂ ∂ t | ψ ⟩ = H ^ | ψ ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle ={\hat {H}}|\psi \rangle }

где H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} - гамильтониан .

Основные следствия этих положений:

• При измерении любой квантовой наблюдаемой, возможно получение только ряда фиксированных её значений, равных собственным значениям её оператора - наблюдаемой.
• Наблюдаемые одновременно измеримы (не влияют на результаты измерений друг друга) тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряжённые операторы перестановочны .

Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Не все состояния квантово-механических систем, однако, являются чистыми. В общем случае состояние системы является смешанным и описывается матрицей плотности , для которой справедливо обобщение уравнения Шрёдингера - уравнение фон Неймана (для гамильтоновых систем). Дальнейшее обобщение квантовой механики на динамику открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем приводит к уравнению Линдблада .

Стационарное уравнение Шрёдингера

Пусть амплитуда вероятности нахождения частицы в точке М . Стационарное уравнение Шрёдингера позволяет её определить.
Функция ψ (r →) {\displaystyle \psi ({\vec {r}})} удовлетворяет уравнению:

− ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ + U (r →) ψ = E ψ {\displaystyle -{{\hbar }^{2} \over 2m}{\nabla }^{\,2}\psi +U({\vec {r}})\psi =E\psi }

где ∇ 2 {\displaystyle {\nabla }^{\,2}} -оператор Лапласа , а U = U (r →) {\displaystyle U=U({\vec {r}})} - потенциальная энергия частицы как функция от .

Решение этого уравнения и есть основная задача квантовой механики. Примечательно то, что точное решение стационарного уравнения Шрёдингера может быть получено только для нескольких, сравнительно простых, систем. Среди таких систем можно выделить квантовый гармонический осциллятор и атом водорода . Для большинства реальных систем для получения решений могут быть использованы различные приближенные методы, такие как теория возмущений .

Решение стационарного уравнения

Пусть E и U две постоянные, независимые от r → {\displaystyle {\vec {r}}} .
Записав стационарное уравнение как:

∇ 2 ψ (r →) + 2 m ℏ 2 (E − U) ψ (r →) = 0 {\displaystyle {\nabla }^{\,2}\psi ({\vec {r}})+{2m \over {\hbar }^{2}}(E-U)\psi ({\vec {r}})=0}

• Если E - U > 0 , то:

ψ (r →) = A e − i k → ⋅ r → + B e i k → ⋅ r → {\displaystyle \psi ({\vec {r}})=Ae^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}+Be^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}} где: k = 2 m (E − U) ℏ {\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m(E-U)}}{\hbar }}} - модуль волнового вектора ; A и B - две постоянные, определяющиеся граничными условиями .

• Если E - U < 0 , то:

ψ (r →) = C e − k → ⋅ r → + D e k → ⋅ r → {\displaystyle \psi ({\vec {r}})=Ce^{-{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}+De^{{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}} где: k = 2 m (U − E) ℏ {\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m(U-E)}}{\hbar }}} - модуль волнового вектора ; C и D - две постоянные, также определяющиеся граничными условиями .

Принцип неопределённости Гейзенберга

Соотношение неопределённости возникает между любыми квантовыми наблюдаемыми, определяемыми некоммутирующими операторами.

Неопределенность между координатой и импульсом

Пусть - среднеквадратическое отклонение координаты частицы M {\displaystyle M} , движущейся вдоль оси x {\displaystyle x} , и - среднеквадратическое отклонение её импульса . Величины Δ x {\displaystyle \Delta x} и Δ p {\displaystyle \Delta p} связаны следующим неравенством:

Δ x Δ p ⩾ ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}

где h {\displaystyle h} - постоянная Планка, а ℏ = h 2 π . {\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}.}

Согласно соотношению неопределённостей, невозможно абсолютно точно определить одновременно координаты и импульс частицы. С повышением точности измерения координаты, максимальная точность измерения импульса уменьшается и наоборот. Те параметры, для которых такое утверждение справедливо, называются канонически сопряженными .

Это центрирование на измерении, идущее от Н.Бора, очень популярно. Однако соотношение неопределенности выводится теоретически из постулатов Шрёдингера и Борна и касается не измерения, а состояний объекта: оно утверждает, что для любого возможного состояния выполняются соответствующие соотношения неопределенности. Естественно, что оно будет выполняться и для измерений. Т.е. вместо "с повышением точности измерения координаты максимальная точность измерения импульса уменьшается" следует говорить: "в состояниях, где неопределенность координаты меньше, неопределенность импульса больше".

Неопределенность между энергией и временем

Пусть Δ E {\displaystyle \Delta E} - среднеквадратическое отклонение при измерении энергии некоторого состояния квантовой системы, и Δ t {\displaystyle \Delta t} - время жизни этого состояния. Тогда выполняется следующее неравенство,

Δ E Δ t ⩾ ℏ 2 . {\displaystyle \Delta E\Delta t\geqslant {\frac {\hbar }{2}}.}

Иными словами, состояние, живущее короткое время, не может иметь хорошо определённую энергию.

При этом, хотя вид этих двух соотношений неопределенности похож, но их природа (физика) совершенно различны.