В. И. Дронт, В. В. Дубинин, М. М. Ильин и др.; Под общ. ред. К. С. Колесникова «Курс теоретической механики: Учебник для вузов» Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2005 год, 736 стр. (7,17 мб. djvu)

В учебнике представлены такие разделы, как: кинематика, статика, динамика точки, твердого тела и механической системы. А также аналитическая механика, теория колебаний, теория удара, введение в динамику тел переменной массы, основы небесной механики. Все разделы сопровождаются примерами решения задач. Курс учебного пособия представлен по курсу лекций и в соответствии с программой, прочитанной авторами в МГТУ им. Н. Э. Баумана.

Книга может использоваться как учебное пособие для студентов машиностроительных вузов и технических университетов. Поможет аспирантам и преподавателям в подготовке и проведению лекций и занятий. А также специалистам работающим в области прикладной статики и динамики механических систем, машино- и приборостроения.
ISBN 5-7038-1695-5 (Т. 1)
ISBN 5-7038-1371-9

Предисловие.

Учебник является результатом многолетней преподавательской деятельности авторов в МГТУ им. Н. Э. Баумана, выпускающем инженеров-конструкторов и исследователей, которые специализируются в области машино- и приборостроения. Ему предшествовали учебники, написанные также преподавателями университета В. В. Добронравовым, А. Л. Дворниковым, К Н. Никитиным, которые переиздавались несколько раз и сыграли большую роль в обучении студентов.

Переход к университетскому инженерному образованию потребовал расширения содержания курса, более полной физической трактовки ряда вопросов и естественного усложнения используемого математического аппарата. С этой целью в разделе «Кинематика» более полно изложена глава «Общий случай движения твердого тела».

Статика излагается как самостоятельный раздел, поскольку такие предметы, как сопротивление материалов, теория механизмов и механика машин, детали машин, предметы инженерного проектирования, требуют от студента четкого представления о способах преобразования и передачи силовых взаимодействий в механизмах машины.

Значительные дополнения сделаны в разделе «Динамика». Здесь введены интегральные вариационные принципы, элементы небесной механики; более полно изложены теория колебаний, теория удара и некоторые другие вопросы.

Некоторые сведения из теории векторов 9
В. 1. Скалярные и векторные величины. Единичные векторы 9
В.2. Проекции вектора на ось и плоскость 11
В.З. Координаты вектора. Аналитическое задание вектора. Радиус вектор точки 12
В.4. Сложение и вычитание векторов 14
В.5. Умножение векторов 16
В.6. Векторы и матрицы 24
В.7. Связь между проекциями вектора на оси двух прямоугольных систем координат 29
В.8. Вектор-функция. Годограф вектора. Дифференцирование вектора по скалярному аргументу 32

Раздел 1. КИНЕМАТИКА

Глава I. Кинематика точки 39
1.1. Скорость точки 39
1.2. Ускорение точки 41
1.3. Векторный способ задания движения точки 44
1.4. Координатный способ задания движения точки 44
1.5. Естественный способ задания движения точки 61

Глава 2. Простейшие движения твердого тела 70
2.1. Степени свободы и теорема о проекциях скоростей 70
2.2. Поступательное движение твердого тела 73
2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси 73

Глава 3. Плоское движение твердого тела 85
3.1. Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное движения 85
3.2. Уравнения движения, угловая скорость и угловое ускорение твердого тела при плоском движении 87
3.3. Скорости точек тела при плоском движении 89
3.4. Мгновенный центр скоростей 90
3.5. Мгновенный центр вращения. Центроиды 94
3.6. Вычисление угловой скорости твердого тела при плоском движении
3.7. Ускорения точек тела при плоском движении 98
3.8. Мгновенный центр ускорений 102
3.9. Способы вычисления углового ускорения тела при плоском движении 106

Глава 4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки 110
4.1. Число степеней свободы. Углы Эйлера. Уравнения вращения 110
4.2. Матрица направляющих косинусов. Траектория точки тела 114
4.3. Мгновенная ось вращения. Аксоиды 116
4.4. Мгновенные угловая скорость и угловое ускорение 119
4.5. Скорости точек тела. Кинематические уравнения Эйлера 122
4.6. Ускорения точек тела 128
4.7. углового ускорения тела 130

Глава 5. Общий случай движения твердого тела 134
5.1. Число степеней свободы. Обобщенные координаты. Уравнения движения 134
5.2. Траектория произвольной точки тела 139
5.3. Скорость произвольной точки тела 140
5.4. Ускорение произвольной точки тела 141

Глава 6. Сложное движение точки 143
6.1. Относительное, переносное и абсолютное движения точки 143
6.2. Абсолютная и относительная производные вектора. Формула Бура 145
6.3. Теорема о сложении скоростей 148
6.4. Теорема о сложении ускорений, или кинематическая теорема Кориолиса. Ускорение Кориолиса 150
6.5. Сложение ускорений в частных случаях переносного движения 153

Глава 7. Сложное движение твердого тела 162
7.1. Теорема о сложении угловых скоростей при сложном движении твердого тела 162
7.2. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей 164
7.3. Сложение вращений вокруг параллельных осей. Паравращений 165
7.4. Сложение поступательных движений 168
7.5. Сложение поступательного и вращательного движений 169

Раздел 2. СТАТИКА

Глава 8. Аксиомы и основные положения статики 173
8.1. Аксиомы статики 174
8.2. Основные виды связей и их реакции 177
83. Система сходящихся сил 181
8.4. Момент силы относительно точки и относительно оси 189
8.5. Сложение параллельных сил. Пара сил 196
8.6. Приведение системы сил к простейшей системе 204

Глава 9. Равновесие тел 214
9.1. Условия равновесия системы сил 214
9.2. Равновесие системы тел 222
9.3. Определение внутренних сил 225
9.4. Статически определимые и статически неопределимые системы тел 227
9.5. Расчет плоских ферм 228
9.6. Распределенные силы 229

Глава 10. Трение 236
10.1. Законы трения скольжения 236
10.2. Реакции шероховатой поверхности. Угол трения 237
10.3. Реакция связи при качении 238
10.4. Равновесие тела при наличии трения. Конус трения 239

Глава 11. Центр тяжести 248
11.1. Центр системы параллельных сил 248
11.2. Центр тяжести твердого тела 251
11.3. Методы определения координат центров тяжести тел 253

Глава 12. Равновесие гибкой и нерастяжимой нити 260
12.1. Дифференциальные уравнения равновесия нити 260
12.2. Частные случаи внешних сил 263
12.3. Цепная линия 265

Раздел 3. ДИНАМИКА

Глава 13. Динамика материальной точки 271
13.1. Аксиомы динамики 271
13.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки 273
13.3. Две основные задачи динамики материальной точки 275
13.4. Движение несвободной материальной точки 280
13.5. Динамика относительного движения 288
13.6. Равновесие и движение материальной точки относительно Земли 293

Глава 14. Геометрия масс 298
14.1. Центр масс механической системы 298
14.2. Моменты инерции 301
14.3. Зависимость моментов инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса-Штейнера) 304
14.4. Моменты инерции однородных тел 305
14.5. Моменты инерции однородных тел вращения 310
14.6. Момент инерции относительно оси, проходящей через заданную точку 315
14.7. Эллипсоид инерции. Главные оси инерции 318
14.8. Свойства главных осей инерции тела 321
14.9. Определение направления главных осей инерции 326

Глава 13. Общие теоремы динамики 331
13.1. Механическая система. Внешние и внутренние силы 331
15.2. Дифференциальные уравнения движения механической системы 334
15.3. Теорема о движении центра масс механической системы 335
15.4. Теорема об изменении количества движения 342
15.5. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Теорема об изменении главного момента количеств движения механической системы 353
15.6. Теорема об изменении кинетической энергии 382
15.7. Потенциальное силовое поле 400
15.8. Примеры использования общих теорем динамики 412

Глава 16. Динамика твердого тела 424
16.1. Поступательное движение твердого тела. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Плоское движение твердого тела 424
16.2. Сферическое движение твердого тела 436
16.3. Общий случай движения твердого тела 465

Глава 17. Принцип Даламбера. Динамические реакции связей 469
17.1. Принцип Даламбера. Сила инерции 469
17.2. Принцип Даламбера для механической системы 471
17.3. Главный вектор и главный момент сил инерции 473
17.4. Динамические реакции опор 475
17.5. Статическая и динамическая уравновешенность твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси 482
17.6. Балансировка роторов 487

Глава 18. Основы аналитической механики 493
18.1. Основные понятия 493
18.2. Возможная работа силы. Идеальные связи 504
18.3. Обобщенные силы 507
18.4. Дифференциальные принципы аналитической механики 513
18.5. Уравнение Лагранжа второго рода 527
18.6. Интегральные вариационные принципы механики 536

Глава 19. Теория колебаний 555
19.1. Устойчивость положения равновесия механической системы 555
19.2. Дифференциальные уравнения малых колебаний линейной системы с одной степенью свободы 559
19.3. Свободные движения линейной системы с одной степенью свободы 568
19.4. Вынужденные колебания линейной системы с одной степенью свободы 582
19.5. Основы теории регистрирующих приборов 607
19.6. Основы виброзащиты 612
19.7. Дифференциальные уравнения малых колебаний линейной системы с конечным числом степеней свободы 615
19.8. Свободные колебания линейной консервативной системы с двумя степенями свободы 625
19.9. Вынужденные колебания линейной системы с двумя степенями свободы при гармоническом возбуждении.
Динамический гаситель колебаний 637
19.10. Колебания линейных систем с конечным числом степеней свободы 645

Глава 20. Теория удара 653
20.1. Основные понятия и допущения. Модель удара 653
20.2. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс системы при ударе 658
20.3. Теорема об изменении главного момента количеств движения системы при ударе 660
20.4. Коэффициент восстановления 662
20.5. Теорема об изменении кинетической энергии системы при ударе. Теорема Карно 664
20.6. Удар по тепу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. Центр удара 672
20.7. Удар по твердому телу с неподвижной точкой. Центр удара. Удар по свободному твердому телу 677
20.8.0 связях при ударе. Общее уравнение механики 679
20.9 Уравнение Лагранжа второго рода при ударе в механической системе 682
20.10. Удар двух тел при поступательном движении. Энергетические соотношения 684
20.11. Удар материальной точки о неподвижную шероховатую поверхность 691
20.12. Удар двух шаров. Модель Герца 699

Глава 21. Введение в динамику тел переменной массы 705
21.1. Основные понятия и допущения 705
21.2. Обобщенное уравнение Мещерского, реактивные силы 707
21.3. Частные случаи уравнения Мещерского 709
21.4. Некоторые классические задачи динамики точки переменной массы 712

Глава 22. Основы небесной механики 717
22.1. Формулы Бине 717.
22.2. Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера 720
22.3. Энергетическая классификация орбит 723
22.4. Движение точки по орбите 725
22.5. Задача двух тел 727
22.6.0 задаче п тел и о других задачах небесной механики 729

Скачать книгу бесплатно 7,17 мб. djvu

Во всей красе и элегантности. С ее помощью Ньютон когда-то вывел на основе трех эмпирических законов Кеплера свой закон всемирного тяготения. Предмет, в общем-то, не такой сложный, понять относительно легко. Но вот сдать - сложно, так как нередко преподы бывают до ужаса придирчивыми (как Павлова , например). При решении задач нужно уметь решать диффуры и вычислять интегралы.

Основные идеи

По сути, теормех в рамках этого курса представляет собой применение вариационного принципа для расчёта "движения" разных физических систем. Вариационное исчисление кратко рассматривается в курсе Интегральные уравнения и вариационное исчисление . Уравнения Лагранжа - это уравнения Эйлера, являющиеся решением задачи с закрепленными концами .

Одна задача обычно может решаться сразу 3 разными методами:

• Метод Лагранжа (функция Лагранжа, уравнения Лагранжа)
• Метод Гамильтона (функция Гамильтона, уравнения Гамильтона)
• Метод Гамильтона-Якоби (уравнение Гамильтона-Якоби)

Важно выбрать самый простой из них для конкретной задачи.

Материалы

Первый семестр (зачет)

Основные формулы

Смотреть в большом размере!

Теория

Видеозаписи

Лекций В.Р. Халилова - Attention! записаны не все лекции

Второй семестр (экзамен)

Начать надо с того, что у разных групп экзамен проходит по-разному. Обычно экзаменационный билет состоит из 2-х теор.вопросов и 1-ой задачи. Вопросы обязательны для всех, а вот от задачи можно как избавиться (за прекрасную работу в семестре + написанные контрольные), так и отхватить лишнюю (и не одну). Здесь уже о правилах игры вам расскажут на семинарах. В группах Павловой и Пименова практикуется теормин, который является своеобразным допуском к экзамену. Отсюда следует, что этот теормин надо знать идеально.

Экзамен в группах Павловой проходит примерно так: Для начала билет с 2-мя вопросами термина. На написание есть немного времени, и ключ тут - абсолютно идеально его написать. Тогда Ольга Серафимовна к вам добреет и остальной экзамен проходит очень приятно. Далее билет с 2-мя вопросами по теории + n задач (в зависимости от вашей работы в семестре). Теорию в теории можно списать. Задачи решить. Много задач на экзамене - еще не конец, если вы их прекрасно умеете решать. Это можно превратить в преимущество - за каждый пункт экзамена вы получаете +, +-, -+ или -. Оценка выставляется "по общему впечатлению" => если в теории у вас не все идеально, но потом идет 3 + за задачи, то общее впечатление хорошее. А вот если вы были без задач на экзамене и теория не идеальная, то сгладить это уже нечем.

Теория

• Юлия. Конспект лекций (2014, pdf) - оба семестра, 2-ой поток
• Второй поток билеты часть 1 (конспекты лекций и часть для билетов) (pdf)
• Второй поток билеты и оглавление ко всем этим частям (pdf)
• Ответы на билеты 1 потока (2016, pdf) - в печатном виде, очень удобно
• Распознанный теормин к экзамену для групп Пименова (2016, pdf) - оба семестра
• Ответы на теормин для групп Пименова (2016, pdf) - аккуратные и вроде без ошибок

Задачи

• Семинары Павловой 2-ой семестр (2015, pdf) - аккуратные, красиво и понятно написанные
• Задачи, которые могут быть на экзамене (jpg) - когда-то в каком-то лохматом году были на 2-м потоке, также могут быть актуальны для групп В.Р. Халилова (похожие задачи он дает на кр)
• Задачи к билетам (pdf) - для обоих потоков (на 2-м потоке эти задачи были в группах А.Б. Пименова)

Кинематика точки.

1. Предмет теоретической механики. Основные абстракции.

Теоретическая механика - это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел

Механическим движением называется перемещение тела по отношению к другому телу, происходящее в пространстве и во времени.

Механическим взаимодействием называется такое взаимодействие материальных тел, которое изменяет характер их механического движения.

Статика - это раздел теоретической механики, в котором изучаются методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.

Кинематика - это раздел теоретической механики, в котором изучаетсядвижение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, независимо от действующих на них сил.

Динамика - это раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве в зависимости от действующих на них сил.

Объекты изучения в теоретической механике:

материальная точка,

система материальных точек,

Абсолютно твердое тело.

Абсолютное пространство и абсолютное время независимы одно от другого. Абсолютное пространство - трехмерное, однородное, неподвижное евклидово пространство. Абсолютное время - течет от прошлого к будущему непрерывно, оно однородно, одинаково во всех точках пространства и не зависит от движения материи.

2. Предмет кинематики.

Кинематика - это раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (т.е. массы) и действующих на них сил

Для определения положения движущегося тела (или точки) с тем телом, по отношению к которому изучается движение данного тела, жестко, связывают какую-нибудь систему координат, которая вместе с телом образует систему отсчета.

Основная задача кинематики состоит в том, чтобы, зная закон движения данного тела (точки), определить все кинематические величины, характеризующие его движение (скорость и ускорение).

3. Способы задания движения точки

· Естественный способ

Должно быть известно:

Траектория движения точки;

Начало и направление отсчета;

Закон движения точки по заданной траектории в форме (1.1)

· Координатный способ

Уравнения (1.2) – уравнения движения точки М.

Уравнение траектории точки М можно получить, исключив параметр времени « t » из уравнений (1.2)

· Векторный способ

(1.3) Связь между координатным и векторным способами задания движения точки (1.4)

Связь между координатным и естественным способами задания движения точки

Определить траекторию точки, исключив время из уравнений (1.2);

-- найти закон движения точки по траектории (воспользоваться выражением для дифференциала дуги)

После интегрирования получим закон движения точки по заданной траектории:

Связь между координатным и векторным способами задания движения точки определяется уравнением (1.4)

4. Определение скорости точки при векторном способе задания движения.

Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом-вектором , а в момент времени t 1 – радиусом-вектором , тогда за промежуток времени точка совершит перемещение .

(1.5) средняя скорость точки, направлен вектор также как и вектор

Скорость точки в данный момент времени

Чтобы получить скорость точки в данный момент времени, необходимо совершить предельный переход

(1.6)

(1.7)

Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке.

(единица измерения ¾ м/с, км/час)

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и вектор Δ v , то есть, направлен в сторону вогнутости траектории.

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

(еденица измерения - )

Как располагается вектор по отношению к траектории точки?

При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения , также как и вектор ср лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор ср будет направлен в сторону вогнутости траектории и будет лежать в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в соседней точке М 1 . В пределе, когда точка М 1 стремится к М эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

Статика - это раздел теоретической механики, в котором изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Под состоянием равновесия, в статике, понимается состояние, при котором все части механической системы покоятся (относительно неподвижной системы координат). Хотя методы статики применимы и к движущимся телам, и с их помощью можно изучать задачи динамики, но базовыми объектами изучения статики являются неподвижные механические тела и системы.

Сила - это мера воздействия одного тела на другое. Сила - это вектор, имеющий точку приложения на поверхности тела. Под действием силы, свободное тело получает ускорение, пропорциональное вектору силы и обратно пропорциональное массе тела.

Закон равенства действия и противодействия

Сила, с которой первое тело действует на второе, равна по абсолютной величине и противоположна по направлению силе, с которой второе тело действует на первое.

Принцип отвердевания

Если деформируемое тело находится в равновесии, то его равновесие не нарушится, если тело считать абсолютно твердым.

Статика материальной точки

Рассмотрим материальную точку, которая находится в равновесии. И пусть на нее действуют n сил , k = 1, 2, ..., n .

Если материальная точка находится в равновесии, то векторная сумма действующих на нее сил равна нулю:
(1) .

В равновесии геометрическая сумма сил, действующих на точку, равна нулю.

Геометрическая интерпретация . Если в конец первого вектора поместить начало второго вектора , а в конец второго вектора поместить начало третьего , и далее продолжать этот процесс, то конец последнего, n -го вектора окажется совмещенным с началом первого вектора. То есть мы получим замкнутую геометрическую фигуру, длины сторон которой равны модулям векторов . Если все векторы лежат в одной плоскости, то мы получим замкнутый многоугольник.

Часто бывает удобным выбрать прямоугольную систему координат Oxyz . Тогда суммы проекций всех векторов сил на оси координат равны нулю:

Если выбрать любое направление, задаваемое некоторым вектором , то сумма проекций векторов сил на это направление равна нулю:
.
Умножим уравнение (1) скалярно на вектор :
.
Здесь - скалярное произведение векторов и .
Заметим, что проекция вектора на направление вектора определяется по формуле:
.

Статика твердого тела

Момент силы относительно точки

Определение момента силы

Моментом силы , приложенной к телу в точке A , относительно неподвижного центра O , называется вектор , равный векторному произведению векторов и :
(2) .

Геометрическая интерпретация

Момент силы равен произведению силы F на плечо OH.

Пусть векторы и расположены в плоскости рисунка. Согласно свойству векторного произведения, вектор перпендикулярен векторам и , то есть перпендикулярен плоскости рисунка. Его направление определяется правилом правого винта. На рисунке вектор момента направлен на нас. Абсолютное значение момента:
.
Поскольку , то
(3) .

Используя геометрию, можно дать другую интерпретацию момента силы. Для этого проведем прямую AH через вектор силы . Из цента O опустим перпендикуляр OH на эту прямую. Длину этого перпендикуляра называют плечом силы . Тогда
(4) .
Поскольку , то формулы (3) и (4) эквивалентны.

Таким образом, абсолютное значение момента силы относительно центра O равно произведению силы на плечо этой силы относительно выбранного центра O .

При вычислении момента часто бывает удобным разложить силу на две составляющие:
,
где . Сила проходит через точку O . Поэтому ее момент равен нулю. Тогда
.
Абсолютное значение момента:
.

Компоненты момента в прямоугольной системе координат

Если выбрать прямоугольную систему координат Oxyz с центром в точке O , то момент силы будет иметь следующие компоненты:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Здесь - координаты точки A в выбранной системе координат:
.
Компоненты представляют собой значения момента силы относительно осей , соответственно.

Свойства момента силы относительно центра

Момент относительно центра O , от силы, проходящей через этот центр, равен нулю.

Если точку приложения силы переместить вдоль линии, проходящей через вектор силы, то момент, при таком перемещении, не изменится.

Момент от векторной суммы сил, приложенных к одной точке тела, равен векторной сумме моментов от каждой из сил, приложенных к этой же точке:
.

Тоже самое относится и к силам, чьи линии продолжения пересекаются в одной точке. В этом случае, за точку приложения сил следует брать их точку пересечения.

Если векторная сумма сил равна нулю:
,
то сумма моментов от этих сил не зависит от положения центра, относительно которого вычисляются моменты:
.

Пара сил

Пара сил - это две силы, равные по абсолютной величине и имеющие противоположные направления, приложенные к разным точкам тела.

Пара сил характеризуется моментом , который они создают. Поскольку векторная сумма сил, входящих в пару равна нулю, то создаваемый парой момент не зависит от точки, относительно которой вычисляется момент. С точки зрения статического равновесия, природа сил, входящих в пару, не имеет значения. Пару сил используют для того, чтобы указать, что на тело действует момент сил, имеющий определенное значение .

Момент силы относительно заданной оси

Часто встречаются случаи, когда нам не нужно знать все компоненты момента силы относительно выбранной точки, а нужно знать только момент силы относительно выбранной оси.

Моментом силы относительно оси, проходящей через точку O - это проекция вектора момента силы, относительно точки O , на направление оси.

Свойства момента силы относительно оси

Момент относительно оси от силы, проходящей через эту ось равен нулю.

Момент относительно оси от силы, параллельной этой оси равен нулю.

Вычисление момента силы относительно оси

Пусть на тело, в точке A действует сила . Найдем момент этой силы относительно оси O′O′′ .

Построим прямоугольную систему координат. Пусть ось Oz совпадает с O′O′′ . Из точки A опустим перпендикуляр OH на O′O′′ . Через точки O и A проводим ось Ox . Перпендикулярно Ox и Oz проводим ось Oy . Разложим силу на составляющие вдоль осей системы координат:
.
Сила пересекает ось O′O′′ . Поэтому ее момент равен нулю. Сила параллельна оси O′O′′ . Поэтому ее момент также равен нулю. По формуле (5.3) находим:
.

Заметим, что компонента направлена по касательной к окружности, центром которой является точка O . Направление вектора определяется правилом правого винта.

Условия равновесия твердого тела

В равновесии векторная сумма всех действующих на тело сил равна нулю и векторная сумма моментов этих сил относительно произвольного неподвижного центра равна нулю:
(6.1) ;
(6.2) .

Подчеркнем, что центр O , относительно которого вычисляются моменты сил можно выбирать произвольным образом. Точка O может, как принадлежать телу, так и находится за его пределами. Обычно центр O выбирают так, чтобы сделать вычисления более простыми.

Условия равновесия можно сформулировать и другим способом.

В равновесии сумма проекций сил на любое направление, задаваемое произвольным вектором , равна нулю:
.
Также равна нулю сумма моментов сил относительно произвольной оси O′O′′ :
.

Иногда такие условия оказываются более удобными. Бывают случаи, когда за счет выбора осей, можно сделать вычисления более простыми.

Центр тяжести тела

Рассмотрим одну из важнейших сил - силу тяжести. Здесь силы не приложены в определенных точках тела, а непрерывно распределены по его объему. На каждый участок тела с бесконечно малым объемом Δ V , действует сила тяготения . Здесь ρ - плотность вещества тела, - ускорение свободного падения.

Пусть - масса бесконечно малого участка тела. И пусть точка A k определяет положение этого участка. Найдем величины, относящиеся к силе тяжести, которые входят в уравнения равновесия (6).

Найдем сумму сил тяжести, образованную всеми участками тела:
,
где - масса тела. Таким образом, сумму сил тяжести отдельных бесконечно малых участков тела можно заменить одним вектором силы тяжести всего тела:
.

Найдем сумму моментов сил тяжести, относительно произвольным способом выбранного центра O :

.
Здесь мы ввели точку C , которая называется центром тяжести тела. Положение центра тяжести, в системе координат с центром в точке O , определяется по формуле:
(7) .

Итак, при определении статического равновесия, сумму сил тяжести отдельных участков тела можно заменить равнодействующей
,
приложенной к центру масс тела C , положение которого определяется формулой (7).

Положение центра тяжести для различных геометрических фигур можно найти в соответствующих справочниках. Если тело имеет ось или плоскость симметрии, то центр тяжести расположен на этой оси или плоскости. Так, центры тяжести сферы, окружности или круга находятся в центрах окружностей этих фигур. Центры тяжести прямоугольного параллелепипеда, прямоугольника или квадрата также расположены в их центрах - в точках пересечения диагоналей.

Равномерно (А) и линейно (Б) распределенная нагрузка.

Также встречаются подобные силе тяжести случаи, когда силы не приложены в определенных точках тела, а непрерывно распределены по его поверхности или объему. Такие силы называют распределенными силами или .

(рисунок А). Также, как и в случае с силой тяжести, ее можно заменить равнодействующей силой величины , приложенной в центре тяжести эпюры. Поскольку на рисунке А эпюра представляет собой прямоугольник, то центр тяжести эпюры находится в ее центре - точке C : | AC| = | CB| .

(рисунок В). Ее также можно заменить равнодействующей. Величина равнодействующей равна площади эпюры:
.
Точка приложения находится в центре тяжести эпюры. Центр тяжести треугольника, высотой h , находится на расстоянии от основания. Поэтому .

Силы трения

Трение скольжения . Пусть тело находится на плоской поверхности. И пусть - сила, перпендикулярная поверхности, с которой поверхность действует на тело (сила давления). Тогда сила трения скольжения параллельна поверхности и направлена в сторону, препятствуя движению тела. Ее наибольшая величина равна:
,
где f - коэффициент трения. Коэффициент трения является безразмерной величиной.

Трение качения . Пусть тело округлой формы катится или может катиться по поверхности. И пусть - сила давления, перпендикулярная поверхности, с которой поверхность действует на тело. Тогда на тело, в точке соприкосновения с поверхностью, действует момент сил трения, препятствующий движению тела. Наибольшая величина момента трения равна:
,
где δ - коэффициент трения качения. Он имеет размерность длины.

Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.