Как посчитать площадь прямоугольника с разными длинами. Площадь прямоугольника онлайн калькулятор

Что такое площадь и что такое прямоугольник

Площадь – это такая геометрическая величина, с помощью которой можно определить размер какой-либо поверхности геометрической фигуры.

На протяжении многих веков так повелось, что вычисление площади называли квадратурой. То есть, чтобы узнать площадь несложных геометрических фигур, достаточно было подсчитать количество единичных квадратов, которыми условно были покрыты фигуры. А фигуру, которая имела площадь, называли квадрируемой.

Поэтому, можно подвести итог, что площадь – это такая величина, которая показывает нам размер части плоскости, соединенной между собой отрезками.

Прямоугольник – это такой четырехугольник, у которого все углы прямые. То есть, четырехстороннюю фигуру, которая имеет четыре прямых угла и ее противоположные стороны равны, называют прямоугольником.

Как найти площадь прямоугольника

Самый простой способ нахождения площади прямоугольника – взять прозрачную бумагу, например кальку, или клеенку и расчертить ее на равные квадратики по 1 см, а потом приложить к изображению прямоугольника. Количество заполненных квадратиков и будет площадью в сантиметрах квадратных. Например, на рисунке видно, что прямоугольник попадает в 12 квадратов, значит, его площадь равна – 12 кв. см.

Но для нахождения площади больших объектов, например квартиры, необходим более универсальный способ, поэтому была доказана формула, чтобы найди площадь прямоугольника необходимо умножить его длину на ширину.

А теперь давайте попробуем записать правило нахождения площади прямоугольника в виде формулы. Обозначим площадь нашей фигуры буквой S, буква а – будет обозначать его длину, а буква b – ширину.

В итоге получаем вот такую формулу:

S = а * b.

Если наложить эту формулу на рисунок прямоугольника выше, то мы получим те же 12 кв.см, т.к. а = 4 см, b = 3 см, а S = 4 * 3 = 12 кв.см.

Если взять две идентичные фигуры, и наложить их одну на другую, то они совпадут, а будут называться равными. У таких равных фигур будут также равны их площади и периметры.

Зачем уметь находить площадь

Во-первых, если вы знаете, как найти площадь какой-либо фигуры, то с помощью ее формулы вы без проблем сможете решать любые задачи по геометрии и тригонометрии.
Во-вторых, научившись находить площадь прямоугольника, вы сначала сможете решать простые задачки, а со временем перейдете к решению более сложных, и научитесь находить площади фигур, которые вписаны в прямоугольник или около него.
В-третьих, зная такую простую формулу, как S = а * b, вы получаете возможность без проблем решать любые простые бытовые задачи (например, находить S квартиры или дома), а со временем и сможете применить их к решению сложных архитектурных проектов.

То есть, если совсем упростить формулу нахождения площади, то она будет выглядеть так:

П = Д х Ш,

Что обозначает П – это искомая площадь, Д – это ее длина, Ш – обозначает ее ширину, а х – является знаком умножения.

А известно ли вам, что площадь любого многоугольника можно условно разбить на определенное количество квадратных блоков, которые находятся внутри этого многоугольника? Какая разница между площадью и периметром

Давайте на примере попробуем понять разницу между периметром и площадью. Например, наша школа находится на участке, который огражден забором – суммарная длина этого забора будет периметром, а то пространство, которое находится внутри ограждения и является площадью.

Единицы измерения площади

Если периметр одномерный измеряется в линейных единицах, которыми являются дюймы, футы и метры, то S относится к двумерным исчислениям и имеет свою длину и ширину.

И измеряется S в квадратных единицах, таких, как:

Один квадратный миллиметр, где S квадрата имеет сторону, равную одному миллиметру;
Квадратный сантиметр, имеет S такого квадрата, у которого сторона равна одному сантиметру;
Квадратный дециметр равен S этого квадрата со стороной в один дециметр;
Квадратный метр имеет S квадрата, сторона которого равна одному метру;
И наконец, квадратный километр имеет S квадрата, сторона которого равна одному километру.

Для измерения площадей больших участков на поверхности Земли используют такие единицы, как:

Один ар или сотка – если S квадрата имеет сторону десять метров;
Один гектар равен S квадрата, у которого сторона имеет сто метров.

Задачи и упражнения

А теперь давайте рассмотрим несколько примеров.

На рисунке 62 нарисована фигура, которая имеет восемь квадратов и каждая сторона этих квадратов равна одному сантиметру. Поэтому S такого квадрата будет квадратный сантиметр.

Если записать, то это будет выглядеть так:

1 см2. А S все этой фигуры, состоящей из восьми квадратов, будет равняться 8 кв.см.

Если взять какую-нибудь фигуру и разбить ее на «р» квадратов со стороной, равной одному сантиметру, то ее площадь будет равна:

Р см2.

Давайте рассмотрим прямоугольник, изображений на рисунке 63. Этот прямоугольник состоит из трех полос, а каждая такая полоска разбита на пять равных квадратов, имеющих сторону в 1 см.

Попробуем найти его площадь. И так берем пять квадратов, и умножаем на три полоски и получаем площадь равную 15 кв.см.:

Рассмотрим следующий пример. На рисунке 64 изображен прямоугольник ABCD, ломаной линией KLMN он разбит на две части. Первая его часть равна площади 12 см2, а вторая имеет площадь 9 см2. Теперь давайте найдем площадь всего прямоугольника:

Итак, берем три и умножаем на семь и получаем 21 кв.см:

3 7 = 21 кв.см. При этом 21 = 12 + 9.

И приходим к выводу, что площадь всей нашей фигуры равна сумме площадей ее отдельных частей.

Рассмотрим еще один пример. И так на рисунке 65 изображен прямоугольник, который с помощью отрезка АС разбит на два равных треугольника ABC и ADC

А так, как нам уже известно, что квадрат – это такой же прямоугольник, только имеющий равные стороны, то площадь каждого треугольника будет равняться половине площади всего прямоугольника.

Представим, что сторона квадрата равна а, то:

S = a a = a2.

Делаем вывод, что формула площади квадрата будет иметь такой вид:

А запись a2 называется квадратом числа а.

И так, если сторона нашего квадрата равна четырем сантиметрам, то его площадь будет:

4 4, то есть 4 * 2 = 16 кв.см.

Вопросы и задания

Найдите площадь фигуры, которая разбита на шестнадцать квадратов, сторона которых равна одному сантиметру.
Вспомните формулу прямоугольника и запишите ее.
Какие измерения нужно произвести, чтобы узнать площадь прямоугольника?
Дайте определение равным фигурам.
Могут ли иметь равные фигуры различные площади? А периметры?
Если вам известны площади отдельных частей фигуры, как узнать ее общую площадь?
Сформулируйте и запишите, чему равняется площадь квадрата.

Историческая справка

А известно ли вам, что древние люди в Вавилоне умели рассчитать площадь прямоугольника. Так же древние египтяне делали расчеты различных фигур, но так как точных формул они не знали, то вычисления имели небольшие погрешности.

В своей книге «Начала» знаменитый древнегреческий математик Евклид, описывает различные способы вычисления площадей разных геометрических фигур.

С таким понятием, как площадь, нам приходится сталкиваться в своей жизни повседневно. Так, например, при строительстве дома ее нужно знать для того, чтобы рассчитать количество необходимого материала. Размер садового участка также будет характеризоваться площадью. Даже ремонт в квартире невозможно сделать без этого определения. Поэтому вопрос, как найти площадь прямоугольника, на нашем жизненном пути встает очень часто и является важным не только для школьников.

Для тех, кто не знает, прямоугольник - это плоская фигура, у которой противоположные стороны равны, а углы составляют 90°. Для обозначения площади в математике используют английскую букву S. Ее измеряют в квадратных единицах: метрах, сантиметрах и так далее.

Теперь попытаемся дать подробный ответ на вопрос, как найти площадь прямоугольника. Существует несколько способов определения этой величины. Наиболее часто мы сталкиваемся со способом определения площади с помощью ширины и длины.

Возьмем прямоугольник с шириной b и длиной k. Для вычисления площади данного прямоугольника необходимо ширину умножить на длину. Это все можно представить в виде формулы, которая будет выглядеть так: S = b * k

А теперь рассмотрим этот способ на конкретном примере. Необходимо определить площадь садового участка с шириной 2 метра и длиной 7 метров.

S = 2 * 7 = 14 м2

В математике, особенно в старших классах, приходится определять площадь иными способами, так как во многих случаях ни длина, ни ширина прямоугольника нам не известна. Вместе с тем имеют место другие известные величины. Как найти площадь прямоугольника в этом случае?

Если нам известна длина диагонали и один из углов, составляющий диагональ с любой стороной прямоугольника, то в этом случае потребуется вспомнить о площади прямоугольного треугольника. Ведь если разобраться, то прямоугольник состоит из двух равных прямоугольных треугольников. Итак, вернемся к определяемой величине. Для начала необходимо определить косинус угла. Полученную величину умножить на длину диагонали. В итоге получим длину одной из сторон прямоугольника. Аналогично, но уже с помощью определения синуса, можно определить длину второй стороны. А как найти площадь прямоугольника теперь? Да очень просто, перемножить полученные величины.

В виде формулы это будет выглядеть так:

S = cos(a) * sin(a) * d2 , где d- длина диагонали

Еще один способ определения площади прямоугольника - через вписанную в него окружность. Он применяется в том случае, если прямоугольник является квадратом. Для использования данного способа необходимо знать радиус окружности. Как вычислить площадь прямоугольника таким способом? Конечно же, по формуле. Доказывать мы ее не будем. А выглядит она так: S = 4 * r2, где r -радиус.

Случается так, что вместо радиуса нам известен диаметр вписанной окружности. Тогда формула будет выглядеть так:

S=d2,где d - диаметр.

Если известна одна из сторон и периметр, то как узнать площадь прямоугольника в этом случае? Для этого необходимо произвести ряд простых вычислений. Как мы знаем, противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому от значения периметра необходимо отнять известную длину, умноженную на два. Полученный результат разделить на два и получим длину второй стороны. Ну, а дальше стандартный прием, перемножаем обе стороны и получаем площадь прямоугольника. В виде формулы это будет выглядеть так:

S=b* (P - 2*b), где b - длина стороны, P - периметр.

Как видим площадь прямоугольника можно определять различными способами. Все зависит от того, какие величины нам известны перед рассмотрением данного вопроса. Конечно же, последние методы исчисления в жизни практически не встречаются, но могут пригодиться для решений многих задач в школе. Возможно, и для решения ваших задач эта статья окажется полезной.

L * H = S чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо перемножить ширину на длину. Другими словами её можно выразить так: площадь прямоугольника равна произведению сторон .

1. Приведём пример расчёта как найти площадь прямоугольника , стороны равны известным величинам, например ширина 4 см, длина 8 см.

Как найти площадь прямоугольника со сторонами 4 и 8 см: Решение простое! 4 х 8 = 32 см2 . Чтобы решить такую простую задачу нужно вычислить произведение сторон прямоугольника или просто умножить ширину на длину, это и будет площадь!

2. Частным случаем прямоугольника является квадрат, это тот случай когда стороны у прямоугольника равны, в этом случае найти площадь квадрата можно по выше приведённой формуле.

Чему равна площадь прямоугольника?

Умение рассчитывать площадь прямоугольника является базовым навыком для решения огромного количества бытовых или технических задач. Эти знания применяются практически во всех областях жизни! Например в тех случаях когда необходимы площади любых поверхностей в строительстве или недвижимости. При расчётах площадей земли, участков, стен домов, жилых помещений... не возможно назвать ни одной области деятельности человека, где это знание не может пригодиться!

Если расчёт площади прямоугольника вызывает у Вас сложности - просто воспользуйтесь нашим калькулятором! О моментально приведёт все необходимые вычисления и напишет текст решения с разъяснениями в деталях.

Мы уже по-зна-ко-ми-лись с по-ня-ти-ем пло-щадь фи-гу-ры , узна-ли одну из еди-ниц из-ме-ре-ния пло-ща-ди - квад-рат-ный сан-ти-метр . На уроке мы вы-ве-дем пра-ви-ло, как вы-чис-лить пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка.

Мы уже умеем на-хо-дить пло-щадь фигур, ко-то-рые раз-де-ле-ны на квад-рат-ные сан-ти-мет-ры.

На-при-мер:

Мы можем опре-де-лить, что пло-щадь пер-вой фи-гу-ры 8 см2, пло-щадь вто-рой фи-гу-ры 7 см2.

Как найти пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка, длины сто-рон ко-то-ро-го 3 см и 4 см?

Для ре-ше-ния за-да-чи разо-бьём пря-мо-уголь-ник на 4 по-лос-ки по 3 см2 каж-дая.

Тогда пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка будет равна 3*4=12 см2.

Этот же пря-мо-уголь-ник можно раз-бить на 3 по-лос-ки по 4 см2.

Тогда пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка будет равна 4*3=12 см2.

В обоих слу-ча-ях для на-хож-де-ния пло-ща-ди пря-мо-уголь-ни-ка пе-ре-мно-жа-ют-ся числа, вы-ра-жа-ю-щие длины сто-рон пря-мо-уголь-ни-ка.

Най-дем пло-щадь каж-до-го пря-мо-уголь-ни-ка.

Рас-смот-рим пря-мо-уголь-ник АКМО.

В одной по-лос-ке 6 см2, а таких по-ло-сок в этом пря-мо-уголь-ни-ке 2. Зна-чит, мы можем вы-пол-нить сле-ду-ю-щее дей-ствие:

Число 6 обо-зна-ча-ет длину пря-мо-уголь-ни-ка, а 2 - ши-ри-ну пря-мо-уголь-ни-ка. Таким об-ра-зом, мы пе-ре-мно-жи-ли сто-ро-ны пря-мо-уголь-ни-ка для того, чтобы найти пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка.

Рас-смот-рим пря-мо-уголь-ник KDCO.

В пря-мо-уголь-ни-ке KDCO в одной по-лос-ке 2см2, а таких по-ло-сок 3. Сле-до-ва-тель-но, мы можем вы-пол-нить дей-ствие

Число 3 обо-зна-ча-ет длину пря-мо-уголь-ни-ка, а 2 - ши-ри-ну пря-мо-уголь-ни-ка. Мы их пе-ре-мно-жи-ли и узна-ли пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка.

Можно сде-лать вывод: чтобы найти пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка, не надо каж-дый раз раз-би-вать фи-гу-ру на квад-рат-ные сан-ти-мет-ры.

Чтобы вы-чис-лить пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка, нужно найти его длину и ши-ри-ну (длины сто-рон пря-мо-уголь-ни-ка долж-ны быть вы-ра-же-ны в одних и тех же еди-ни-цах из-ме-ре-ния), а потом вы-чис-лить про-из-ве-де-ние по-лу-чен-ных чисел (пло-щадь будет вы-ра-же-на в со-от-вет-ству-ю-щих еди-ни-цах пло-ща-ди)

Обоб-щим: пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка равна про-из-ве-де-нию его длины и ши-ри-ны.

Ре-ши-те за-да-чу.

Вы-чис-ли пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка, если длина пря-мо-уголь-ни-ка 9см, а ши-ри-на - 2см.

Рас-суж-да-ем так. В дан-ной за-да-че из-вест-ны и длина и ши-ри-на пря-мо-уголь-ни-ка. По-это-му дей-ству-ем по пра-ви-лу: пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка равна про-из-ве-де-нию его длины и ши-ри-ны.

За-пи-шем ре-ше-ние.

Ответ: пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка 18см2

Как вы ду-ма-е-те, ка-ки-ми ещё могут быть длины сто-рон пря-мо-уголь-ни-ка с такой пло-ща-дью?

Можно рас-суж-дать так. По-сколь-ку пло-щадь - это про-из-ве-де-ние длин сто-рон пря-мо-уголь-ни-ка, по-это-му надо вспом-нить таб-ли-цу умно-же-ния. При умно-же-нии каких чисел по-лу-ча-ет-ся ответ 18?

Пра-виль-но, при умно-же-нии 6 и 3 тоже по-лу-чит-ся 18. Зна-чит, у пря-мо-уголь-ни-ка могут быть сто-ро-ны 6см и 3 см и его пло-щадь тоже будет равна 18см2.

Ре-ши-те за-да-чу.

Длина пря-мо-уголь-ни-ка 8см, а ши-ри-на 2см. Найди его пло-щадь и пе-ри-метр.

Нам из-вест-ны длина и ши-ри-на пря-мо-уголь-ни-ка. Необ-хо-ди-мо вспом-нить, что для на-хож-де-ния пло-ща-ди необ-хо-ди-мо найти про-из-ве-де-ние его длины и ши-ри-ны, а для на-хож-де-ния пе-ри-мет-ра нужно сумму длины и ши-ри-ны умно-жить на два.

За-пи-шем ре-ше-ние.

Ответ: пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка 16 см2, а пе-ри-метр пря-мо-уголь-ни-ка 20 см.

Ре-ши-те за-да-чу.

Длина пря-мо-уголь-ни-ка 4см, а ши-ри-на - 3см. Чему равна пло-щадь тре-уголь-ни-ка? (смот-ри ри-су-нок)

Чтобы от-ве-тить на во-прос за-да-чи, сна-ча-ла надо найти пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка. Мы знаем, что для этого необ-хо-ди-мо длину умно-жить на ши-ри-ну.

По-смот-ри-те на чер-тёж. Вы за-ме-ти-ли, диа-го-наль раз-де-ли-ла пря-мо-уголь-ник на два рав-ных тре-уголь-ни-ка? Сле-до-ва-тель-но, пло-щадь од-но-го тре-уголь-ни-ка в 2 раза мень-ше пло-ща-ди пря-мо-уголь-ни-ка. Зна-чит, надо 12 умень-шить в 2 раза.

Ответ: пло-щадь тре-уголь-ни-ка 6 см2.

Се-год-ня на уроке мы по-зна-ко-ми-лись с пра-ви-лом, как вы-чис-лить пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка и учи-лись при-ме-нять это пра-ви-ло при ре-ше-нии задач на на-хож-де-ние пло-ща-ди пря-мо-уголь-ни-ка.

ИСТОЧНИКИ

http://interneturok.ru/ru/school/matematika/3-klass/tema/ploschad-pryamougolnika?seconds=0&chapter_id=1779

Площадь прямоугольника, как не будет дерзко звучать, но это важное понятие. В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с ним. Узнать размер полей, огородов, рассчитать количество краски, необходимой для побелки потолка, сколько понадобится обоев для оклейки ко

мнаты и другое.

Геометрическая фигура

Для начала поговорим о прямоугольнике. Это фигура на плоскости, которая имеет четыре прямых угла, а ее противоположные стороны равны. Стороны его привыкли называть длиной и шириной. Измеряют их в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и т. д. Теперь ответим на вопрос: «Как найти площадь прямоугольника?» Для этого необходимо длину умножить на ширину.

Площадь=длина*ширина

Но еще одна оговорка: длина и ширина должны быть выражены в одинаковых единицах измерения, то есть метр и метр, а не метр и сантиметр. Записывается площадь латинской буквой S. Для удобства обозначим длину латинской буквой b, а ширину латинской буквой a, как показано на рисунке. Отсюда мы делаем вывод, что единицей измерения площади является мм 2 , см 2 , м 2 и т. д.

Рассмотрим на конкретном примере, как найти площадь прямоугольника. Длина b=10 ед. Ширина a=6 ед. Решение: S=a*b, S=10 ед.*6 ед., S=60 ед 2 . Задача. Как узнать площадь прямоугольника, если длина в 2 раза больше ширины и составляет 18 м? Решение: если b=18 м, тогда а=b/2, a=9 м. Как найти площадь прямоугольника, если известны обе стороны? Правильно, подставить в формулу. S=a*b, S=18*9, S=162 м 2 . Ответ: 162 м 2 . Задача. Сколько необходимо купить рулонов обоев для комнаты, если ее размеры составляют: длина 5,5 м ширина 3,5, а высота 3 м? Размеры рулона обоев: длина 10 м, ширина 50 см. Решение: сделаем рисунок комнаты.

Площади противоположных сторон равны. Вычислим площадь стены с размерами 5,5 м и 3 м. S стены 1 =5,5*3,

S стены 1 =16,5 м 2 . Следовательно, противоположная стена имеет площадь равную 16,5 м 2 . Найдем площади следующих двух стен. Стороны их, соответственно, равны 3,5 м и 3 м. S стены 2 =3,5*3, S стены 2 =10,5 м 2 . Значит, и противоположная сторона равна 10,5 м 2 . Сложим все результаты. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 м 2 . Как вычислить площадь прямоугольника, если стороны выражены в разных единицах измерения. Ранее мы вычисляли площади в м 2 , то и в этом случае будем использовать метры. Тогда ширина рулона обоев будет равна 0,5 м. S рулона =10*0,5, S рулона =5 м 2 . Теперь узнаем, сколько рулонов необходимо для оклейки комнаты. 54:5=10,8 (рулонов). Так как они измеряются целыми числами, то нужно купить 11 рулонов обоев. Ответ: 11 рулонов обоев. Задача. Как вычислить площадь прямоугольника, если известно, что ширина на 3 см короче длины, а сумма сторон прямоугольника составляет 14 см? Решение: пусть длина х см, тогда ширина (х-3) см. х+(х-3)+х+(х-3)=14, 4х-6=14, 4х=20, х=5 см - длина прямоугольника, 5-3=2 см - ширина прямоугольника, S=5*2, S=10 см 2 Ответ: 10 см 2 .

Резюме

Рассмотрев примеры, надеюсь, стало понятно, как найти площадь прямоугольника. Напомню, что единицы измерения длины и ширины должны совпадать, иначе получится неправильный результат, чтобы не допустить ошибок, читайте задание внимательно. Иногда сторона может быть выражена через другую сторону, не стоит бояться. Обратитесь к нашим решенным задачам, вполне возможно, они могут помочь. Но хоть раз в жизни мы сталкиваемся с нахождением площади прямоугольника.